Явная разностная схема решения одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности Текст научной статьи по специальности «Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Геренштейн Аркадий Васильевич, Хайрисламов Михаил Зинатуллаевич
Предлагается численный метод решения третьей смешанной задачи для одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности параболического типа, основанный на использовании явной разностной схемы . Зависимость коэффициентов уравнения от температуры преодолевается введением новой искомой функции первообразной теплопроводности .
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Геренштейн Аркадий Васильевич, Хайрисламов Михаил Зинатуллаевич
EXPLICIT DIFFERENCE SCHEME FOR THE SOLUTION OF ONE-DIMENSIONAL QUASI-LINEAR HEAT CONDUCTIVITY EQUATION
Numerical method for the solution of the third mixed boundary value problem for one-dimensional quasi-linear heat conductivity equation of a parabolic type based on the use of explicit difference scheme is given. Dependence of coefficients on temperature is overcome by the introduction of the new required function that is a primitive integral of conductivity.
Текст научной работы на тему «Явная разностная схема решения одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности»
ЯВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Л.Б. Геренштеин, М.З. Хаирисламов
Предлагается численный метод решения третьей смешанной задачи для одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности параболического типа, основанный на использовании явной разностной схемы. Зависимость коэффициентов уравнения от температуры преодолевается введением новой искомой функции - первообразной теплопроводности.
Ключевые слова: теплопроводность, квазилинейное уравнение теплопроводности, явные разностные схемы, аппроксимация.
В настоящей работе используются идеи, изложенные в работах [1,2], в которых была предложена и обоснована явная устойчивая схема для линейного уравнения теплопроводности.
Рассмотрим следующую постановку третьей смешанной задачи для одномерного однородного квазилинейного уравнения [3]:
= At (u (0, t)) ( - и (0, t)) + Qt,
= Лг (и (L, t)) ( - и (L, t)) + Qr,
где и = u(x, t) - искомая функция (температура стержня), 0<x<L, 0 <t<T ; L - длина стержня; T - конечный момент времени; с(и) - заданная объемная теплоемкость материала стержня; q(u) - заданная теплопроводность материала стержня; ср(х) - заданная функция начального распределения температуры стержня; Aj(n) - коэффициент теплоотдачи на левом конце стержня; Лг(и) - коэффициент теплоотдачи на правом конце стержня; - температура внешней среды на левом конце стержня; вг - температура внешней среды на правом конце стержня; Qt - мощность потока тепла на левом конце стержня; Ог - мощность потока тепла на правом конце стержня. Функции с = с(и), q = q(u), Л/ = А/(и) и Лг=Лг(и) предполагаются непрерывными функциями температуры, заданными для всех значений температуры.
Замена искомой функции
Поскольку в уравнении присутствует член q(u)—, то удобно сделать следующую замену:
Тогда для функции G получим уравнение
1 Геренштейн ^ртадий Васильевич - доцент, кандидат физико-математических наук, кафедра прикладной математики, ЮжноУральский государственный университет.
2 Хайрисламов Михаил Зинатуллаевич - аспирант, кафедра прикладной математики, Южно-Уршьский государственный факультет.
Геренштейн АЛ., Хаирисламов М.З.
Функция С(и) является строго монотонной функцией температуры. Вывод рабочих формул
На плоскости (х, 0 используется равномерная сетка [2]
ОТ=ОН хйт, О = | х, = ^ 1 - ^ J Н, i = 1,2. N О = ,
где А = —— шаг по переменной х, г - шаг по переменной t. Шаблон предлагаемой схемы пред-N
ставлен на рисунке.
нение (2) для точки
- значения функции С в сечении х = \ / - — \И . Запишем урав-
, заменив вторую производную по пространственной координа-
те на соответствующее разностное соотношение: I
Шаблон разностной схемы
і є [0; т], і = 2. N -1.
Аппроксимируем значения (0 и С;+1 (0 с точностью до членов первого порядка малости:
О,- (Г) - 0-1 (0) + ^ (0У, о1+1 (Г) - о1+1 (0) + ^ (0У.
В результате уравнение (3) преобразуется к виду
Погрешность аппроксимации оказывается равной О
, даже если производные
(0) вычисляются по формулам первого порядка точности.
Решением уравнения (4) является функция
Для обозначения значений сеточной аппроксимации функции С на следующем временном слое будем использовать верхний индекс (+1), а на предыдущем - верхний индекс (-1), на сле-
дующем полуцелом временном слое - I +— I, а на предыдущем полуцелом временном слое -
— (см. рисунок). Запишем теперь разностные аппроксимации для производных ——(0) и
йО ,-1_ (0) = О-12* - О>-12
Окончательно расчетная формула приобретает вид
Для расчета значений функции С на временном слое і = т, а также для вычисления значений функции в полуцелых слоях по времени можно воспользоваться формулами:
Для применения формул (5)-(7) необходимо по данному значению (7; найти температуру м; та-
кую, что Gj = | с/(д)с/д . В силу монотонности функции С(п) эту задачу можно решить методом 0
деления отрезка пополам (дихотомии).
Аппроксимация краевых условий
Для выполнения краевых условий введены фиктивные узлы с номерами 0 и N +1 (см. рисунок): сначала рассчитываются значения искомой функции во внутренних точках, после чего исходя из краевых условий задаются ее значения в фиктивных узлах.
Перепишем краевое условие на левом конце в задаче (1) с учетом замены искомой функции:
30 =Я1 (и (0, 0) ( - и (0, Г)) + а . (8)
Обозначим через функцию, обратную к функции С, производную -------------------
—------, а значение (1(0. і) - полусуммой (1(0. і) = —--. То-
гда условие (8) может быть записано в виде
Обозначив z = G-11 —------ |. из (9) получим уравнение относительно z :
Считаем, что функции q