Подходы к моделированию гидроразрыва пласта и направления их развития

Источник: Журнал «Нефтяное хозяйство» Гидроразрыв пласта (ГРП) является одним из наиболее эффективных методов интенсификации добычи нефти. С ростом числа операций ГРП, появлением новых материалов и технологий совершенствовались подходы к его моделированию. В начале 80-х годов ХХ века появились первые работы по моделям Pseudo3D [1, 2] и Planar3D [3–5], которые впоследствии легли в основу таких широко используемых симуляторов, как FracPro, MFrac, GOFHER, StimPlan, TerraFrac и др. В дальнейшем эти методы совершенствовались как различными модификациями численных схем, так и усложнением математических моделей, которые стали учитывать все большее число параметров: неньютоновские реологические характеристики жидкости ГРП, концентрацию проппанта, влияющую на вязкость жидкости, различные факторы переноса проппанта. В основном методы развивались по пути численного моделирования, что обеспечивалось резким ростом вычислительных мощностей. В связи со значительным многообразием моделей ГРП в данной статье приведены обзор и систематизация основных широко используемых методов моделирования ГРП, их особенностей, областей применения и ключевых предположений. В статье также рассмотрены дальнейшие методы совершенствования существующих моделей.

Методы моделирования ГРП различаются иногда значительно, однако в их основе лежит набор фундаментальных законов природы и несколько уравнений состояния, описывающих жидкость ГРП, проппант и реакцию пористой горной породы пласта на давление. Принципиально эти законы можно разделить на три части, или подзадачи: 1) задача гидродинамики по определению поля давлений жидкости в трещине; 2) задача механики по расчету геометрических размеров трещины (связь между давлением и раскрытием); 3) задача разрушения для определения контура трещины.

Для простоты далее рассмотрим механическую задачу в рамках линейной теории упругости. 1. Гидродинамика. Система уравнений гидродинамики:

где  – плотность жидкости; u =(u1 u2 u3)т – вектор скорости течения жидкости вдоль осей; p – давление давление жидкости; жij – вязкий тензор напряжений, действующих в жидкости; r=(x1 x2 x3)т – радиус-вектор; F – замыкающее реологическое соотношение, связывающее давление и плотность жидкости; D – граница области определения; хj – ортогональные пространственные координаты; t – время. Система содержит 14 уравнений и 17 неизвестных. Неизвестные ui, р, , жij, r , i, j= 1,3. 2. Система уравнений теории упругости (для краткости опущены пороупругие эффекты по Био)

где g – ускорение свободного падения, С – тензор упругих констант, i, j, k, m– индексы тензора, n– нормаль. Система содержит 18 уравнений и 18 неизвестных. Неизвестные: ij, eij, i, j =1,3.

3. Критерий разрушения. Для примера, приведен силовой критерий Ирвина

где КI,КII, КIII– коэффициенты интенсивности напряжений, зависящие от формы тела, внешних нагрузок, расположения и длин трещин. Критерий содержит четыре уравнения и три новых неизвестных: КI(r ),КII(r ),КIII(r ). Система дифференциальных и линейных уравнений (1)–(3) содержит 36 уравнений, 38 неизвестных и является явно недоопределенной. Стандартный подход к ее решению заключается в принятии допущений, касающихся геометрии задачи, например, симметричность задачи относительно одной оси un(r D)=-un(–r D), рассмотрение плоской задачи, допущение о наличии линейной связи между раскрытием трещины и давлением жидкости. Существуют и другие подходы, но все они, как правило, рассматривают неопределенность, связанную с границей трещины, поверхностью r D. При должном обосновании такие подходы можно применять, но необходимо учитывать, что они являются приближениями и могут не отражать физическую сущность процесса. Предлагается принять некоторые допущения, приведенные ниже. Все рассматриваемые модели являются следствием общей системы уравнений, описанной в этом разделе.

Очевидно, что система уравнений (1)–(3) в общем виде чрезвычайно сложна для решения, поэтому во всех симуляторах для описания гидродинамической части используется закон сохранения массы в трещине

где q – вектор усредненного по толщине потока жидкости;w– раскрытие трещины в точке. При моделировании течения жидкость, как правило, в большинстве моделей считается несжимаемой. Вектор потока q определяется из поля давлений в трещине из уравнений теории смазки (формула Пуазейля для течения в плоскопараллельном канале)

где –динамическая вязкость жидкости. Для неньютоновской жидкости формула несколько изменяется, сохраняя характер связи между потоком и градиентом давления. В общем виде для этого, как правило, используется теория упругости или пороупругости. В большинстве моделей применяется линейная теория упругости (2), но даже в таком упрощенном виде расчет напряженного состояния вокруг трещины вызывает большие сложности. Давление жидкости из уравнения (5) является граничным условием на напряжение по поверхности трещины для дифференциального уравнения эллиптического типа. Большое значение имеют также критерий роста трещины, определение скорости и направления роста трещины в каждой точке ее границы. Данные вопросы активно рассматриваются в настоящее время. Из физики трещин выбирается один из законов их распространения: в большинстве моделей – или критерий Ирвина, или модель Баренблатта. В полностью трехмерных моделях с использованием метода конечных элементов (МКЭ) предпочитают применять так называемый J-интеграл, или интеграл Черепанова – Райса по произвольному контуру вокруг конца трещины. Общая идея методов заключается в том, что рост конца трещины начинается, когда количество высвобождаемой упругой энергии пласта компенсирует затраты на разрыв породы. Все перечисленные методы эквиваленты для описания роста трещины ГРП в хрупких материалах. Важным является вопрос о наличии и влияния лага, т.е. об отставании фронта жидкости от конца трещины при ее росте. Как правило, в симуляторах ГРП постулируется отсутствие лага. В первом приближении данное утверждение справедливо, однако данный вопрос требует дополнительного изучения.

С целью учета проникновения трещины в другой пласт и получения более точной ее геометрии для практических целей, начиная с 80-х годов ХХ века начала разрабатываться модель Pseudo3D – усовершенствование PKN модели. Принципиальным ее отличием от 2Dмоделей является учет распределения минимальных горизонтальных напряжений по вертикали, т.е. рост трещины по вертикали ограничен покрышками и повышенными сжимающими напряжениями. В зависимости от принципов численной реализации встречаются следующие подвиды модели Pseudo3D.

Lumped Pseudo3D [1, 2] предполагает относительно простую форму крыла трещины, например, эллиптическую и реализована в коммерческих симуляторах MFrac, FracPro, FracCade.

Cell-basedPseudo3D [6] рассматривает разбиение трещины на ячейки и высоту каждой ячейки рассчитывает из уравнений потока и двумерной упругой задачи (Mangrove, РН-ГРИД).

Semi-analytical Pseudo3D [7, 8] базируется на идее сшивки аналитических решений. Для нахождения профиля раскрытия по вертикальному разрезу используется точное аналитическое решение 2Dтеории упругости со ступенчатой нагрузкой, высота трещины определяется из критерия разрушения, как в традиционной Cell-based Pseudo3D модели. Однако вместо численного решения для 1D течения жидкости используется модифицированное аналитическое решение модели PKN, что позволяет исключить из численного решения уравнения второго порядка в частных производных. Основным преимуществом данных моделей является учет геологического строения пласта (распределения напряжений по вертикали) и высокая скорость расчетов. Их основной недостаток заключается в том, что они в основном не учитывают поток по вертикали. Кроме того, используется упрощенное решение упругой задачи для раскрытия трещины, соседние вертикальные профили не влияют друг на друга. Данное приближение справедливо только для очень длинных трещин и только в центральной области, точность снижается к краям трещины. Учет влияния потока жидкости по вертикали и упругого влияния среды по латерали является одним из основных направлений развития моделей Pseudo3D. Кроме того, модель Pseudo3D некорректно работает при наличии двух пластов, разделенных барьером. При достижении трещиной по вертикали соседнего продуктивного пласта происходят резкий прорыв в него и перераспределение потоков. В данном случае более совершенные симуляторы на основе Planar3D модели прогнозируют трещину с раздвоенным крылом.

На основании рассмотренной истории развития подходов к моделированию ГРП можно составить систематизирующую диаграмму, которая описывает иерархию моделей ГРП с использованием физических предположений и ограничений. Предположения моделей ранжированы по их значимости сверху вниз (см. рисунок). Чем меньше значимость сделанного предположения, тем ниже находится развилка моделей в диаграмме. Первым по значимости является вопрос о модели сплошной среды. При моделировании ГРП либо каждая трещина рассматривается как отдельный геометрический объект, либо свойства трещин усредняются с использованием модели эффективной трещиноватой среды. Последний подход может быть применен, например, в гидродинамических симуляторах, однако в большинстве случаев для дизайна ГРП трещины моделируются как отдельные геометрические включения в сплошную среду. Следующим по значимости является вопрос о тонкости трещины. Если раскрытие трещины намного меньше ее длины L (в случае реальных ГРП это приближение всегда выполняется), то в задаче появляется малый параметр w/Lp/E (p – давление, E – модуль Юнга). Справедливость данного приближения следует из того, что давление pнамного меньше модуля Юнга Е. В большинстве моделей все члены фундаментальных уравнений имеют одинаковый порядок малости по параметру Е. Учет следующего порядка малости по параметру приводит к таким эффектам, как сжимаемость жидкости при течении в трещине ГРП, влияние трения жидкости о стенки трещины на напряженно-деформированное состояние породы, отклонение течения жидкости от уравнения смазки (формулы Пуазейля), конечные деформации и нелинейная теория упругости. С учетом малости на практике в большинстве моделей указанными эффектами пренебрегают. Таким образом, деформации считаются малыми, для деформации упругой среды используются линейные модели, например, закон Гука, жидкость в трещине в уравнении (4) считается несжимаемой, уравнение Навье – Стокса заменяется уравнением теории смазки (5), в граничных условиях теории упругости на стенке трещины задаются только нормальные напряжения, обусловленные давлением жидкости в данной точке. Следующим по значимости является предположение о степени однородности среды. В большинстве моделей допускается только кусочно-однородная среда, состоящая из различных горизонтальных полностью однородных слоев. Свойства среды могут изменяться только скачкообразно по вертикали. Таково большинство моделей ГРП. Для учета негоризонтальности залегания слоев, неоднородности свойств по горизонтали, плавного изменения свойств в пространстве могут быть использованы только симуляторы типа Full3D, так как задача становится трехмерной.

Иерархия моделей ГРП по принципу заложенных фундаментальных приближений и ограничений (ГУ – граничные условия)

Оставшиеся модели по сути квазидвумерны, их дальнейшее деление очевидно. Часть моделей использует предположения, при которых задача становится квазиодно мерной. Во всех этих задачах прежде всего используется квазиодномерность потока, которая существенно упрощает решение уравнения (4). Все модели, в которых такое приближение не делается и поток считается двумерным, являются моделями типа Planar3D. Квазиодномерные модели делятся на те, в которых учитывается влияние соседних вертикальных слоев на геометрию трещины – модели типа Pseudo3D, и те, в которых данным влиянием пренебрегают – одномерные аналитические модели.