В какой точке орбиты находится сегодня земля? Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рассматривается элементарное решение важнейшей задачи небесной механики определение положения планеты на орбите в любой момент времени. Обычно приводится решение этой задачи, использующее закон Всемирного тяготения. Однако этот способ требует решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, что является достаточно сложной задачей. Если использовать не только законы Всемирного тяготения, второй закон Ньютона , но и три закона Кеплера , то можно свести указанную задачу к решению простейшего дифференциального уравнения первого порядка. В результате определяется положение планеты на орбите-эллипсе в любой момент времени. При желании можно найти вектор скорости движения планеты. Если известно положение нескольких планет в один произвольный момент времени, то принципиально можно определить их положение в любой момент. Значит, мы знаем конфигурацию планетарной системы и можем находить, например, моменты противостояний. Незначительно усложняя метод, можно исследовать движение вокруг звезды (например, Солнца) системы планета-спутник и определять моменты затмений. Помимо изложенного, приведен элементарный вывод из второго закона Ньютона и третьего закона Кеплера закона Всемирного тяготения.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Рубинштейн А.И.

An initiate method to solve the problem of what point of orbit a planet is at today has been investigated. The solution of this problem using the law of gravitation is difficult, as it demands solving a certain system of nonlinear differential equations. Using not only the law of gravitation but the Second Newton’s law and the Third Kepler’s law allows to solve the pooblem with a simple first order differential equation. It is possible to find the speed-vector of planet. There is also a possibility of the configuration of planet system. An elementary conclusion of the law of gravitation, the Second Newton’s law and of the Third Kepler’s law is presented.

Текст научной работы на тему «В какой точке орбиты находится сегодня земля?»

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ В КОСМИЧЕСКОЙ ОТРАСЛИ

В КАКОЙ ТОЧКЕ ОРБИТЫ НАХОДИТСЯ СЕГОДНЯ ЗЕМЛЯ?

А.И. РУБИНШТЕЙН, проф. каф. высшей математики МГУЛ, проф. каф. высшей математики НИЯУ (МИФИ), д-р физ.-мат. наук

rubinshtein_aleksandr@mail.ru, caf-math@mgul.ac.ru ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет леса» 141005, Московская обл., г. Мытищи-5, ул. 1-я Институтская, д. 1, МГУЛ Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» 115409, Москва, Каширское ш., 31

Рассматривается элементарное решение важнейшей задачи небесной механики - определение положения планеты на орбите в любой момент времени. Обычно приводится решение этой задачи, использующее закон Всемирного тяготения. Однако этот способ требует решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, что является достаточно сложной задачей. Если использовать не только законы Всемирного тяготения, второй закон Ньютона, но и три закона Кеплера, то можно свести указанную задачу к решению простейшего дифференциального уравнения первого порядка. В результате определяется положение планеты на орбите-эллипсе в любой момент времени. При желании можно найти вектор скорости движения планеты. Если известно положение нескольких планет в один произвольный момент времени, то принципиально можно определить их положение в любой момент. Значит, мы знаем конфигурацию планетарной системы и можем находить, например, моменты противостояний. Незначительно усложняя метод, можно исследовать движение вокруг звезды (например, Солнца) системы планета-спутник и определять моменты затмений. Помимо изложенного, приведен элементарный вывод из второго закона Ньютона и третьего закона Кеплера закона Всемирного тяготения.

Ключевые слова: орбита, законы Ньютона, законы Кеплера

Представляется, что в сегодняшнем втузовском математическом образовании недостаточно представлена мотивация излагаемого материала. Вместе с тем хорошо известно, что развитие математических методов стимулировалось (как первый толчок) потребностями, прежде всего физики, астрономии.

Возникновение дифференциального и интегрального исчислений у Ньютона определялось необходимостью решения задач механики, в том числе небесной механики. Демонстрация того, как применение математического материала первого курса любого ВТУЗа позволяет количественно описать движение планет, искусственных спутников и т. д. (в рамках, разумеется, некоторой идеализации - модели - задачи двух тел, например) должна убедить студента в важности и полезности предлагаемых знаний. Итак, как же происходит движение Земли по орбите?

Первый закон И. Кеплера (1571-1630) гласит: «Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце». Пусть канонические уравнения орбиты-эллипса есть

и Солнце расположено в точке (с = ^а2-Ь2\ 0), а полярный угол Земли в момент времени t

равен ф(А Пусть ф = 0 = ф(0) - угол соответствующего точке апогея - ближайший к Солнцу точке орбиты.

Координаты Земли в момент времени t есть (acosф(t); bs^(t)) - координата радиусвектора ОТ. Как указал Ньютон (1643-1727), вектор скорости u(t) движения имеет координаты, равные производным по времени от координат положения, т. е.

и = бЦ) = (-а8Шф(*);Ьсо8ф(0)-ф'(0-По второму закону И. Ньютона - изменение количества движения равно импульсу действующей силы (т - масса Земли)

F = F(t) = (т • и (t))1 =mv \t) = (-(am sin ф(/)) x xcp ”(t) - (am cos ф(/)) ■ (ф '(О)2i (pm cos ф(*)) x (1)

Fig. 1. A scheme of the Earth movement

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2015

системный анализ, управление и обработка информации в космической отрасли

По закону Всемирного тяготения Ньютона сила притяжения Земли Солнцем есть

где R - расстояние между Землей и Солнцем (R = \тс\) и R = TC - вектор Земля-Солнце,

M - масса Солнца (сила притяжения двух масс пропорциональна произведению этих масс, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена по прямой, соединяющий массы). Коэффициент пропорциональности k - постоянная Всемирного тяготения.

R = TC = - ((я cos фЦ) - с ); Ъ sin фЦ)),

R = ((асовфО-с)2 +(йвтф(*))2 j2

Ф? cos ф(/) - с )2 + (b sin ф(/) )2 -автфЦ)

фа cos ф(/) -с)2 + (ft sin ф(/) )2

Приравнивание F из (1) и (3) приводит к необходимости решения нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, что проблематично. Но на помощь приходит второй закон И. Кеплера: «Радиус вектор Солнце-Земля в равные промежутки времени «заметает» равные площади».

Отсюда следует, например, что при круговом движении a = b = R, т. е. с = \Ja2 -Ъ2 = О и s = с/а (для Земли s = 0,017) скорость постоянна.

Рис. 2. Иллюстрация второго закона Кеплера Fig. 2. Illustration of Kepler’s second law

По второму закону Кеплера

и сект.ТСТА ^сект.Т0СТ0А-

При малых значениях At можно считать Scam.TCT^ » S^ctl и SceKm j.sCT^ « . Имеем

sATCTa ЛсТ- СТА sin(TACT) Лет• СТАsin((O(0+

+Дф(0) - Ф(0) = - ((СТ • cos Ф(0) • (СТА sin (ФЦ) + +АФ(0)) - (СТ • вшФ(О) ■ (СТА cos(®(0 + ДФ(/)))) =

((хт - с) ■ уТа - (хТа -с)-ут) = -((хт - с)(ут +

= ^ ((a cos ф(0 - с) • A(b sin ф(7)) - (Ъ sin ф(Г)) х

= — Ь(а - с cos ф(0)ф \t)At.

Здесь использована формула Лагранжа конечных приращений.

Аналогично (ф(0) = 0!)

Из соотношения SATCTa » 5^^ получаем (1 - scos 9(t) 9’(t) = (1 - s) ф’(0) (6)