Геометрические задачи на доказательство (В25) Треугольники и их элементы

1 Геометрические задачи на доказательство (В25) Треугольники и их элементы 1 На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. 2. Высоты AA 1 и BB 1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA 1 B 1 и ABB 1 равны. 3. В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA 1 и BB 1. Докажите, что треугольники A 1 CB 1 и ACB подобны. 4. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны. 5. Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD EF. 7. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK равносторонний. 8. На стороне треугольника отмечены точки и так, что. Докажите, что если, то. 9. На медиане треугольника отмечена точка. Докажите, что если, то. 10. Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.

2 11. Два равносторонних треугольника имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки и равны. 12. Два равных прямоугольника имеют общую вершину (см. рис.). Докажите, что площади треугольников и равны. 13. В параллелограмме проведены высоты и. Докажите, что подобен. 14. Докажите, что у равных треугольников и биссектрисы, проведённые из вершины и, равны. 15. В треугольнике угол равен 36, биссектриса. Докажите, что треугольник равнобедренный. 16. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60. Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности. 17. Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого C = 90, и продолжений его сторон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что периметр треугольника ABC равен диаметру этой окружности.

3 18. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что углы АDB и BEC равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки AЕ и CD тоже равны. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. 19. В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60. Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и центр вписанной окружности треугольника ABC лежат на одной окружности. 21. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны. 22. Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой. Четырёхугольники и их элементы 1. Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка N середина стороны AB. Докажите, что CN биссектриса угла BCD.

4 2. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ параллелограмм. 3. Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка L середина стороны BC. Докажите, что DL биссектриса угла CDA. 4. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что 5. Биссектрисы углов C и D трапеции ABCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AB. Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD. 6. Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка K середина стороны AB. Докажите, что DK биссектриса угла ADC. 7. Точка K середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции. 8. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части. 9. Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка M середина стороны AD. Докажите, что CM биссектриса угла BCD. 10. В параллелограмме АВСD точки E, F, Kи М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM параллелограмм. 11. Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

5 12. Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный шестиугольник. 13. В параллелограмме ABCD точка E середина стороны AB. Известно, что EC=ED. Докажите, что данный параллелограмм прямоугольник. 14. В параллелограмме проведены высоты и. Докажите, что подобен. 15. Два квадрата имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки и равны. 16. В параллелограмме проведены биссектрисы противоположных углов. Докажите, что отрезки биссектрис, заключенные внутри параллелограмма, равны. 17. Середины сторон параллелограмма является вершинами ромба. Докажите, что данный параллелограмм прямоугольник. 18. Дана равнобедренная трапеция. Точка лежит на основании и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что середина основания. 19. Три стороны параллелограмма равны. Докажите, что отрезок с концами в серединах противоположных сторон параллелограмма равен четверти его периметра. 20. В параллелограмме ABCD проведены высоты BH и BE к сторонам AD и CD соответственно, при этом BH = BE. Докажите, что ABCD ромб.

6 21. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKD. 22. Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится равносторонний треугольник. 23. Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат. 24. Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный восьмиугольник. 25. Точка E середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции. 26. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма. 27. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны. 28. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и ADB подобны. 29. Точка E середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции. 30. Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD. 31. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны. 32. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны. 33. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и T соответственно. Докажите, что BP = DT.

7 34. Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что AB IJ. 35. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции. 36. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части. 37. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что Окружности и их элементы 1. В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны. 2. Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что отрезки AB и IJ перпендикулярны. 3. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3 : 5 : 10. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна В окружности через середину O хорды AC проведена хорда BD так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O середина хорды BD. 5. Окружности с центрами в точках O 1 и O 2 не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

8 6. В окружности с центром проведены две равные хорды и. На эти хорды опущены перпендикуляры и. Докажите, что и равны.