Рис Тело, брошенное под углом α к горизонту

1 33 Движение тела, брошенного под углом к горизонту Этот тип движения возбуждал у наших предков наибольший интерес, потому что был связан с желанием «удлинять» свои руки за счёт камней, палок, копий, стрел, ядер, снарядов, ракет и тп движущихся в поле земного тяготения предметов В большинство своём, эти устремления были связаны с неотвратимым желанием умерщвлять представителей животного мира Соплеменники были отнюдь не исключением Проблема пропитания, власти и территорий во все времена решалась далеко не дипломатическими методами Экспериментальные исследования движения тел, брошенных под углом к горизонту, начались за долго до возникновения первых научных потуг что-либо описать и посчитать Война, как это ни может показаться странным, со времён австралопитеков и до настоящего продвинутого времени была, есть, и к сожалению, будет одним из основных приводных ремней научно-технического прогресса Самые передовые научно-технические достижения цивилизации людской всегда были связаны с милитаристическими устремлениями В этом смысле рассматриваемому далее типу движения, можно сказать, «повезло», оно постоянно находилось на острие «прогресса» Достаточно упомянуть ещё раз устройства, приведенные на рис и вспомнить такие имена как Аристотель, Архимед, еонардо да Винчи, Коперник, Галилей, Ньютон, Наполеон Бонапарт, чтобы проникнуться исторической значимостью этого типа движения Тело, брошенное в поле земного тяготения с начальной скоростью, направленной под углом α к горизонту будет двигаться по криволинейной траектории, лежащей в плоскости, перпендикулярной поверхности земли Существенно отметить, движение протекает при постоянном по модулю и направлению ускорении r Это даёт возможность разложить криволинейное движение на два более простых: равномерное вдоль горизонтальной оси тк = и ускоренное по вертикальной оси, где проявляется двояко ускорение свободного падения (рис 39) Рис 39 Тело, брошенное под углом α к горизонту Движение исследуемого тела относительно вертикальной оси из начальной точки О в точку С равнозамедленное, а из точки С в точку В равноускоренное с ускорением свободного падения r В начальный момент времени при t = имеем: х =, у =, = cosα, = sinα, a =, a = 5

2 Для проекций скорости в любой момент времени, например в точке М, движения можно записать следующие уравнения ( t) = cosα, (335) () t = t Модуль вектора скорости в соответствии с уравнением (5) определится как r = cos α + ( t) = cos α + ( t + t ), r = cos α + t + (336) ( ) t Положение вектора скорости определим, используя свойства прямоугольного треугольника, построенного на векторе скорости и его проекциях r t tβ = r, β = arct (337) cosα Уравнения движения запишем, используя особенности равномерного перемещения точки по горизонтали и равноускоренного по вертикали ( t) = t cosα, t (338) () t = t Время подъёма тела в верхнюю точку траектории С определим, используя второе уравнение системы (335) при условии: = t C =, t C = (339) Определим далее полное время полёта τ = t C = (34) При подстановке времени полёта τ в первое уравнение системы (338) получим максимальную дальность броска cosα ma = = (341) Из последнего уравнения, в частности, следует, что при прочих равных условиях максимальная дальность броска будет иметь место при α = 45, тк в этом случае α = π/, = 1 Максимальная высота подъёма определится путём подстановки времени из уравнения (339) во второе уравнение системы (335) ma =, ma = (34) Уравнение траектории получается при исключении времени из уравнений (338) Из первого уравнения t =, cosα при подстановке этого значения t во второе уравнение, получим = = tα (343) cosα cos α cos α cos α = Если ввести обозначения: tα = a, ( ) b классифицируемый вид, то уравнение траектории примет более = a - b (344) 53

3 Пример 8 Во сколько раз будет отличаться максимальная дальность стрельбы из одного и того же орудия на Земле и на уне? 1 Поскольку в условии задачи речь идёт о максимальной дальности стрельбы, то угол наклона вектора начальной скорости к горизонту в обоих случаях равен 45 Принимая равной начальные скорости вылета снаряда, и не учитывая, как и во всех подобных задачах, сопротивление среды, на основании уравнения (341) можно записать следующие соотношения З =, =, (1) З где З 1 м/с ускорение свободного падения на Земле, 1,6 м/с ускорение свободного падения на уне Поделим второе уравнение на первое уравнение З = 6, () З те выстрел из артиллерийского орудия при прочих равных условиях на уне по дальности будет в 6 раз превосходить выстрел в земных условиях Пример 9 Камень бросают со скоростью под углом α к горизонту Через какое время, прошедшее с момента начала движения, вектор скорости камня будет составлять угол β с горизонтом? Сопротивление со стороны воздуха отсутствует откуда Рис31 Определение направления вектора скорости 1 Запишем уравнения для проекций скоростей материальной точки, брошенной под углом α к горизонту с начальной скоростью r r = i( cosα), r r (1) = j( t) r r r Образуем из векторов, и в точке М прямоугольный треугольник с искомым углом β, для которого можно записать очевидное соотношение t tϕ = () cosα 3 Разрешим последнее уравнение относительно времени t tϕ cosα = t, (3) t = ( cosαtβ) (4) Пример 1 Частицу бросают под углом α = 6 к горизонту В какой точке траектории угол между вектором начальной скорости и вектором текущей скорости будет максимальным Какова величина этого угла? 1 Движение материальных тел в воздушной среде без сопротивления предполагает, в частности, что параболическая траектория симметрична относительно точки С, а модуль вектора начальной скорости равен модулю конечной скорости 54

4 Если произвести параллельный перенос вектора начальной скорости r в конечную точку полёта, то станет ясно, что именно в точке В угол ( r ; r ) будет максимальным (рис 311) 3 Найдём величину угла между вектором конечной скорости и горизонтальной осью, для чего запишем систему четырёх уравнений, описывающих данный тип движения, с учётом того, что по вертикальной оси движение будет ускоренным ( = ), а по горизонтальной оси равномерным ( = ) = cosα; = t, t = t cosα; = t 4 Определим время подъёма в верхнюю точку траектории С, воспользовавшись тем обстоятельством, что вертикальная составляющая скорости равна нулю sin Рис 311 Вектор текущей скорости α C = tc = 5 Время подъёма из О в С равно времени спуска из С в В, поэтому полное время полёта частицы определится как = t 6 Найдём далее модуль и направление вектора конечной скорости = cosα; = sinα sinα = sinα r = + = r r ( ; i ) = arccos r = arccos( cosα) = α 7 Таким образом, угол между векторами конечной и начальной скорости частицы составляет α, те 1 Пример 11 Фронтовой бомбардировщик пикирует по прямой, составляющий угол α = 45 с горизонтом В целях безопасности экипажа бомбы должны покидать самолёт на минимальной высоте полёта 1 м На каком расстоянии от цели необходимо начать бомбометание при скорости пикирования 85 км/час? 1 В начальный момент времени сбрасываемая бомба имеет скорость бомбардировщика, которую можно представить двумя составляющими Вертикальная составляющая характеризует свободное падение бомбы до поверхности земли, горизонтальная составляющая скорости постоянна по модулю и определяет перемещение вдоль оси Ох (рис 31) Рис 31 Бомбометание при пикировании 55

5 Запишем кинематические уравнения, определяющие движение бомбы = cosα; = + t; = t cosα; t = t + 3 Из четвёртого уравнения системы определим время полёта бомбы до цели t 1 t1 H H = t1 + ; t + t1 = H t1 = Третье уравнение системы даёт возможность определить искомое расстояние L cosαsin α H L = t1 cosα = м + sin α Пример 1 Сферический резервуар, стоящий на поверхности земли имеет радиус R При какой минимальной скорости, брошенный с поверхности камень, перелетит резервуар, только коснувшись его вершины (рис 313) Сопротивление движению со стороны воздуха отсутствует 1 Естественно предположить, что камень нужно бросать под углом к горизонту, те камень полетит, удовлетворяя уравнениям = cosα; = + t; = tcosα; = t t Используя уравнение для проекции скорости на вертикальную ось, определим время подъёма камня t 1 на высоту R = t; Рис 313 Метание камня через резервуар C = ; t1 = Максимальная высота подъёма камня по вертикальной оси должна быть равна ma = R, поэтому 1 ma = R = 3 Определим из последнего уравнения значение начальной скорости броска = 4R sin α 4 Угол, под которым следует бросать камень, определим из условия = R ma = cosαt = t 1 1 sin α cosα = ; α = ; α = arct 63 5 Подставим далее значение угла α в уравнение для 4R 4R = = 5R sin 63 ma ma 56

6 Пример 13 Частица брошена под углом α к горизонту Определите, чему должен быть равен этот угол, если дальность броска в четыре раза превышает максимальную высоту подъёма над горизонтом? Сопротивление движению со стороны воздуха отсутствует 1 Время полёта частицы в отсутствие сопротивления равно удвоенному времени её подъёма в верхнюю точку траектории (34) τ = Если это значение времени подставить в уравнения координат (338), то получим ma = ; ma = 3 По условию этой задачи ma = 4ma, поэтому cosα 45 = ; tα = 1; α = Пример 14 Между сдвоенными шинами грузового автомобиля застрял камень на расстоянии,8 R от центра колеса радиусом R = 1м При скорости автомобиля 7 км/час камень покидает колесо (рис314) На каком минимальном расстоянии от грузовика должен двигаться легковой автомобиль, чтобы в него камень не попал? Рис 314 Полёт камня 1 Камень будем считать телом, брошенным под углом α к горизонту, причём наиболее далеко булыжник полетит, когда этот угол будет составлять 45 к горизонту, потому что ma = инейная скорость камня в начальной точке его полёта определится как c =,8R =,8 c = 16м / с R 3 Безопасное расстояние до легкового автомобиля в этом случае будет равно 16 min = = 5,6м 1 Пример 15 Танк, расположенный на вершине горы, производит горизонтальные выстрелы Снаряды разрываются на расстоянии 5 км ниже по склону Определить начальную скорость снаряда, если склон образует с горизонтом угол 3 (рис 315) 1 Горизонтальная составляющая скорости снаряда будет постоянной и равной, это даёт основание определить горизонтальное перемещение снаряда за время t в виде t = cosα ma Изменение вертикальной координаты снаряда будет протекать в соответствии с уравнением 57

7 Рис 315 Танк стреляет по склону t () t = = ma 3 Выразим далее из первого уравнения время ma cosα t =, и подставим это значение во второе уравнение ma cos α = ma 4 Разрешив последнее уравнение относительно искомой начальной скорости снаряда, получим ma cos α = 194м / с 58