Тема: "Решение задач по теме "Сплавы""

Тема: "Решение задач по теме "Сплавы""

Цель урока: систематизировать различные подходы к решению задач на "Сплавы, смеси и концентрации".

Задачи:

  • Познакомить с основными положениями, формулами, теоретическими обоснованиями и методическими комментариями к решению задач на сплавы.
  • Сформировать умения решения задач на сплавы.
  • Показать различные способы решения задач.
  • Научить анализировать условие задачи в плане выбора оптимального способа решения.
  • Подготовить учащихся к решению задач названного типа из КИМов ЕГЭ.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний учащихся.

Вступительное слово учителя: В школьных учебниках тема «Сплавы, смеси и концентрации" практически не затрагивается. Ограниченное число решенных задач не позволяет всем выпускникам самим увидеть закономерности и осуществить «перенос» знаний на другую ситуацию. Большое внимание решению таких задач уделено на различных сайтах Интернета, где виртуальные репетиторы и сайты по подготовке к ЕГЭ дают различные подходы к решению задач названного типа и предлагают выпускникам не отказываться от решения таких задач, так как трудности при их решении вполне преодолимы. Предлагаю вам сегодня поработать над данной темой и оценить свои возможности при решении задач.

Решите задачи:

А) На базу привезли 96 т капусты. 20% всей капусты отправили в магазин. Сколько тонн капусты осталось? Ответ: 76,8 т. Б) Тракторная бригада вспахала 24 га земли, что составило 15% площади всего поля. Какова площадь поля? Ответ: 160 га. В) В цехе работают 60 рабочих, из них 36 фрезеровщиков. Сколько процентов от всего числа рабочих составляют фрезеровщики? Ответ: 60%. Вопросы классу:

  • Что является алгебраической основой решения таких задач? (Ответ: знания о пропорции и ее свойствах, понятие процента, простейшие задачи на проценты).
  • Какие еще умения и навыки вам потребуются для решения задач по теме «Сплавы»? (Ответ: умение составлять уравнения или системы уравнений, исходя из условия задачи и решать их).

3. Основная часть. Решение задач по теме «Сплавы»

3.1. Вопросы классу:

1) Что будет являться предметом изучения нашей темы? (Ответ: текстовые задачи по математике по теме "Сплавы, смеси и концентрации".)

2) Объектом изучения темы? (Ответ: систематизация способов решения задач названного типа.)

3) К какому результату мы с вами должны прийти? Предложите гипотезу.

(Ответ: Гипотеза: если систематизировать предлагаемые способы решения задач и выработать алгоритм по их анализу и решению, то изучение данной темы позволит нам освоить данную тему.)

Содержание КИМов по математике подтверждают необходимость изучения этого материала в программе по математике в старшей школе.

3.2. Задачи на сплавы

Рассмотрим смесь двух компонент А и В. Масса смеси складывается из масс чистых компонент:m = mA + mB. Отношения СА = , CB = показывают, какую часть полной массы смеси составляют массы отдельных компонент и называются массовыми концентрациями этих компонент. Концентрация – это безразмерная величина; сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, очевидно, равна единице

Процентным содержанием компонент А и В называются величины

т.е. концентрации этих веществ, выраженные в процентах.

Задача 1. Имеются два сплава меди и цинка. В первом сплаве меди в 2 раза больше, чем цинка, в во втором меди в 5 раз меньше, чем цинка. Во сколько раз больше надо взять второго сплава, чем первого, чтобы получить новый сплав, в котором цинка было бы в 2 раза больше, чем меди.

В I-ом сплаве массы меди и цинка находятся в отношении 2:1, а во втором – в отношении 1:5. Следовательно, концентрации меди и цинка в первом сплаве:

С'м = , С'ц = . Аналогично для второго сплава имеем: С"м= ; С"ц= . Если взять хкг первого сплава и укг второго сплава, то в новом сплаве будет кг меди и кг цинка.

По условию, в новом сплаве цинка будет в 2 раза больше, чем меди, т.е. =>

Следовательно, у > х в 2 раза. Ответ: в 2 раза больше следует взять II-го сплава.

Задача 2. В двух сплавах медь и цинк относятся как 4:1 и 1:3. После совместной переплавки 10 кг первого сплава и 16 кг второго сплава, и нескольких кг чистой меди получили сплав, в котором медь и цинк относятся как 3:2. Определить вес нового сплава.

С – массовая концентрация

Сcu = в I сплаве, а во II сплаве Сcu = Сzn = в I сплаве, а во II сплаве Сzn = 10 . = 8 кг – Cu в I сплаве 16 . = 4 кг – Cu во II сплаве 10 . = 2 кг – Zn в I сплаве 16 . = 12 кг – Zn во II сплаве Пусть х чистой меди добавили в III сплав. 8 + 4 + х = (12 + х) кг Cu в III сплаве Зная, что в III сплаве медь и цинк относятся как 3:2, можно составить уравнение:

х = 9 кг чистой меди добавили в III сплав 10 + 16 + 9 = 35 кг. Ответ: 35 кг вес нового сплава.

Задача 3. В двух сплавах медь и цинк относятся как 5:2 и 3:4 (по весу). Сколько кг каждого сплава надо взять, чтобы после совместной переплавки получить 28 кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка?

Пусть I сплава х кг, тогда II сплава (28 – х) кг. – содержание меди в I сплаве – содержание цинка в I сплаве – содержание меди во II сплаве – содержание цинка во II сплаве – попало меди в III сплав – попало цинка в III сплав Т.к. в третьем сплаве равное содержание медь и цинка, составим уравнение: 5х + 3(28 – х) = 2х + 4(28 – х) 5х + 84 – 3х = 2х + 112 – 4х 2х + 84 = 112 – 2х 4х = 28 х = 7 кг Первого сплава нужно взять 7кг. 28 – 7 = 21 кг нужно взять II сплава. Ответ: для совместной переплавки нужно взять 7 кг I сплава и 21 кг II сплава.

Задача 4. Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845 г больше, чем меди. Если к нему добавить некоторое количество чистого серебра, по массе равное серебра, первоначального содержания в сплаве, то получится новый сплав, содержащий 83,5% серебра. Какова масса сплава?

Пусть Cu – х кг, тогда Ag – (х + 1845) г. Весь сплав – (2х + 1845) г. К сплаву добавили (х + 1845) . = ( х + 615) г Ag. Стало (х + 1845 + х + 615) = ( х + 2460) г Ag. Получили новый сплав: (2х + 1845 + х + 615) = ( х + 2460) г. Массовая концентрация Ag – 83,5% = . Составим уравнение:

х . 200 + 2460 . 200 = х . 167 + 2460 . 167

х = 2460 . 33 х = х = 660 г – Cu в сплаве 2 . 660 + 1845 = 3165 г – весь сплав. Ответ: масса сплава 3165 г.

Задача 5. Вычислить вес и процентное содержание серебра в сплаве с медью, зная, что сплавив его с 3 кг чистого серебра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его с 2 кг сплава, содержащего 90% серебра, получат сплав, содержащий 84% серебра.

Пусть х (кг) – серебро в первоначальном сплаве, у (кг) – медь, (х + у) кг – I сплав, (х + у +3) кг – II сплав, добавили 3 кг серебра. 1) – содержание серебра во II сплаве х = 9у – 3 2) 2 . 0,9 = 1,8 кг – количество серебра в 2 кг III сплава 3) – количество серебра в IV сплаве у = 0,6 кг – медь в I сплаве х = 9 . 0,6 – 3 = 2,4 кг – серебро 4) Cag = . 100% = 80%. Ответ: 2,4 кг серебра, Cag = 80%.

3.3. Рассмотрим еще один из способов решения задач методом "прямоугольников", который соответствует представлениям о процессе сплавливания. Метод позволяет компактно и наглядно представить эти процессы, упрощая составление уравнения.

Задача 6. Имеется два сплава с различным процентным содержанием свинца. Вес одного 6 кг, вес другого 12 кг. От каждого отрезали по куску равного веса, после чего их сплавили с остатком другого куска. В результате процентное содержание свинца в обоих сплавах стало одинаковым. Сколько весил каждый отрезанный кусок?

Пусть х – масса каждого отрезанного куска. Обозначим хА – массу куска, отрезанного от сплава А, а хВ – от сплава В. Нарисуем схему.

Одинаковое процентное содержание свинца в обоих полученных сплавах возможно только при условии, когда количество сплава А и сплава В в слитках пропорционально. Составим пропорцию:

(6 – х) . (12 – х) = х 2 х 2 – 18х + 72 = х 2 18х = 72 х = 4 (кг) – масса каждого отрезанного куска. Ответ: 4 кг.

Задача 7. Один сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1:2, а другой сплав содержит те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить новый сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?

х – количество первого сплава в новом куске. у – количество второго сплава в новом куске. х – количество первого металла в первом сплаве. у – количество первого металла во втором сплаве. х + у – количество первого металла в новом куске. (х + у) – количество первого металла в новом куске. Получаем уравнение: х + у = (х + у) Решаем его:

220х + 264у = 255х + 255у 220х + 264у – 255х – 255у = 0 – 35х = – 9у у = х Ответ: чтобы получить новый сплав, надо взять 9 частей первого сплава и 35 частей второго сплава.

Выводы. Видим, что в основном при решении задач все уравнения — линейные. Никаких квадратов, никаких дискриминантов и тем более дробно-рациональных выражений. Вот почему задачи на сплавы считаются доступными.

4. Задачи для самостоятельного решения

1. Имеются три сплава. Первый содержит 30% никеля и 70% меди, второй – 10% меди и 90% марганца, третий – 15% никеля, 25% меди и 60% марганца. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 40% марганца. В каком соотношении следует взять эти сплавы, чтобы в новом сплаве содержание меди было 40%?

2. Из двух сплавов меди, первый из которых содержит 7 кг меди, а второй 8 кг. Меди получили новый сплав, содержащий 18% меди. Каково процентное содержание меди в первом сплаве на 20 больше, чем во втором?

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎