8 класс. Геометрия. Четырехугольники. Трапеция.
1. Повторение свойств и признаков параллелограмма
Очевидно, что для решения задач на тему «Параллелограмм и трапеция», необходимо повторить основные понятия, связанные с этими фигурами. Вспомним их свойства и признаки.
Чтобы иметь возможность при решении задач пользоваться указанными свойствами, нам необходимо понимать, является ли указанный четырехугольник параллелограммом или нет. Для этого необходимо знать признаки параллелограмма.
Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны (см. Рис. 2), то этот четырехугольник – параллелограмм. параллелограмм.
Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны (см. Рис. 3), то этот четырехугольник – параллелограмм. параллелограмм.
Теорема. Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам (см. Рис. 4), то этот четырехугольник – параллелограмм. параллелограмм.
2. Повторение свойств равнобедренной трапеции
Теперь рассмотрим такую фигуру, как трапеция. Отдельным ее видом является равнобедренная трапеция, имеющая важные свойства.
Определение. Равнобедренная трапеция – это трапеция, в которой боковые стороны равны (см. Рис. 5).
Свойства и признаки равнобедренной трапеции. Трапеция равнобедренная (см. Рис. 6) тогда и только тогда, когда:
а) – углы при основании равны;
Рис. 6. Свойства и признаки равнобедренной трапеции
3. Задача на параллелограмм
4. Задачи на построение
Пример 2. Постройте параллелограмм по двум смежным сторонам и углу между ними.
Решение. Нам известны следующие данные: длины двух отрезков ( и ) и величина угла ( (см. Рис. 8).
Все задачи на построение предполагают наличие нескольких стандартных этапов:
В нем обратим внимание на треугольник , в котором две стороны ( и ) и угол ( являются указанными в условии задачи. Если построен данный треугольник, то его достаточно будет достроить до параллелограмма, и построение будет закончено. Будем пользоваться этим далее, как планом.
1. Построить по углу и прилежащим сторонам и , что является стандартной задачей, с которой мы уже знакомы и умеем выполнить такое построение.
2. Достроить треугольник до параллелограмма , проведя , , где точка (см. Рис. 10).
Исследование. На данном заключительном этапе мы обязаны доказать, что построенный параллелограмм является единственным, и указать, всегда ли его можно построить.
В нашем случае мы можем указать следующие факты:
1. При любых фиксированных существует единственный со сторонами , и углом между ними.
2. Существует единственная пара прямых , , т.е. единственная 4-я вершина параллелограмма , которая является точкой .
Можем сделать вывод: искомый параллелограмм существует и единственен при любых .
Известны следующие данные: длины двух оснований ( и , ) и высота трапеции ( ) (см. Рис. 11).
Строим отрезок и от него проводим два перпендикулярных отрезка и равные по длине и соответственно. Концы этих отрезков и соединяем и получаем искомую трапецию (см. Рис. 12).
Задача имеет единственное решение: существует единственный треугольник прямоугольный и единственный прямоугольный треугольник с катетами, длины которых равны значениям, указанным в условии. Может возникнуть сомнение в единственности решения, если представить, что при построении трапеции отрезок можно отложить в другую сторону. При этом, чтобы сохранить указанную последовательность вершин в трапеции , ее следует изобразить, как на Рис. 13. А это не прямоугольная трапеция. Следовательно, наше построение единственно.
5. Задача на трапецию
Пример 4. В трапеции проведены биссектрисы углов при вершинах . Найти угол между биссектрисами.
Решение. Интересно, что условие задачи и решение в равной степени подходит и для случая параллелограмма и трапеции. Выполним Рис. 14.
6. Решение задач по теме «Параллелограмм»
На прошлом уроке мы уже рассмотрели ряд задач, связанных с параллелограммом и трапецией. На этом уроке продолжим решать различные примеры на эту тему.
Пример 1.
Пусть . Воспользуемся тем фактом, что периметр параллелограмма равен . Тогда: .
Ответ: биссектриса пересекает сторону и делит её на отрезки и .
Пример 2.
Стороны параллелограмма равны . Биссектрисы двух углов, прилегающих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.
Если воспользоваться решением примера 1, можно сразу сделать вывод, что треугольники – равнобедренные (так как , ). Получаем, что . Тогда: .
Пример 3.
7. Решение задач по теме «Трапеция»
Пример 4.
В трапеции ( – большее основание): диагональ перпендикулярна боковой стороне , а . Периметр трапеции равен , . Найти длину большего основания трапеции.
Рассмотрим треугольник : он прямоугольный (так как по условию , в нём . Из того, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , следует, что: . В прямоугольном треугольнике с острым углом катет, лежащий против этого угла, в раза меньше гипотенузы. Поэтому, если мы обозначим основание , то .
Осталось воспользоваться тем фактом, что периметр трапеции равен : . Значит, большее основание трапеции: .
Пример 5.
Сумма углов при одном из оснований трапеций равна . Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полусумме.
Обозначим: . Так как и – параллелограммы, то: . Кроме того: . Отсюда: и – медиана . Но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть: , что и требовалось доказать.
Пример 6.
Выполним дополнительное построение: через точку проведём прямую, параллельную диагонали . Эта прямая пересечёт продолжение основания в точке .
Четырёхугольник – параллелограмм (по определению: у него обе пары сторон попарно параллельны, одна пара – по построению, вторая – как основания трапеции). Значит: . Но в равнобедренной трапеции диагонали равны: – равнобедренный.
Кроме того, по условию диагонали трапеции перпендикулярны. Это значит, что . Но, по свойству соответственных углов: – прямоугольный.
Но так как – параллелограмм: . Получаем: (свойство средней линии трапеции), что и требовалось доказать.