B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

1 Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы к ступенчатому виду определить а) ранг матрицы: B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. B Пятую строку поместим на место второй: -я строка -я строка -я строка -я строка -я строка

2 -я строка -я строка -я строка -я строка -я строка -й столбец -й столбец -й столбец -й столбец Полученная ступенчатая матрица имеет четыре отличные от нуля строки и следовательно ранг заданной матрицы равен четырем: B Rg. В качестве базисных строк матрицы B запишем строки матрицы B соответствующие отличным от нуля строкам ступенчатой матрицы то есть -ю -ю -ю и -ю строки: ) ( ) ( ) ( ) (. В качестве базисных столбцов матрицы B запишем столбцы матрицы B соответствующие столбцам ступенчатой матрицы содержащим ведущие элементы то есть -й -й -й и -й столбцы:. Базисный минор соответствующий вышеуказанным базисным строкам и базисным столбцам есть определитель матрицы образованной элементами исходной матрицы B находящимися на пересечении -й -й -й -й строки и -го -го -го -го столбца матрицы B:

3 B то есть базисный минор есть следующий определитель:. Ответ: а) B Rg ; б) базисный минор: ; в) базисные строки: ) ( ) ( ) ( ) ( ; г) базисные столбцы:. Замечание. Если при приведении матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями получается несколько одинаковых строк то можно оставить только одну из них. В рассмотренном примере -я и -я строки матрицы B в результате элементарных преобразований становятся одинаковыми поэтому вместо -й строки в качестве базисной можно было взять -ю.

4 Пример. Для системы векторов: () а) выяснить является ли она линейно зависимой. Указать б) ранг системы векторов (); в) какой-либо базис системы векторов () и разложить все векторы системы () по этому базису. Решение. Приравняем линейную комбинацию векторов () нулю:. () Однородную линейную алгебраическую систему уравнений () относительно неизвестных решим методом Гаусса: 9. () Из вида ступенчатой матрицы () следует что система уравнений () является неопределенной (не все переменные базисные: переменные свободные) то есть имеются ненулевые решения T ) ( и следовательно заданная система векторов () линейно зависимая. Так как ступенчатая матрица () имеет две отличные от нуля строки то ранг системы векторов () равен двум а базисом системы () является любая пара

5 векторов: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) так как все пары векторов не пропорциональны. Найдем разложение всех векторов () например по базису ( ). Разложение базисных векторов по базису ( ) очевидно:. Теперь рассмотрим векторы не вошедшие в базис ( ). Запишем разложение вектора по рассматриваемому базису:. () Неоднородную линейную алгебраическую систему уравнений () относительно неизвестных решим методом Гаусса используя имеющееся преобразование ():. Отсюда и. Подставим найденные коэффициенты в () и получим разложение вектора по базису ( ):. Аналогично получим разложение вектора по базису ( ): ; ; ; разложение вектора по базису ( ).

6 Ответ: а) линейно зависимая; б) Rg ; в) базис: ( ) разложение векторов по указанному базису:. До сих пор под векторами подразумевались матрицыстолбцы или матрицы-строки. В дальнейшем мы перейдем к рассмотрению линейных пространств элементы которых независимо от их природы также называют векторами и для которых остаются в силе все определения и утверждения с которыми мы имели дело при решении предыдущих примеров. Ранее рассмотренные в примерах векторы являются элементами так называемых арифметических (координатных) линейных пространств. В следующем примере рассмотрим векторы другой природы. Пример. Выяснить какие из нижеперечисленных систем векторов являются линейно зависимыми: ) e e e ; () ) sin sin cos. () Для линейно зависимой системы векторов указать какой-либо ее базис. Решение.. Приравняем линейную комбинацию векторов () нулю: e e e для всех R. () (Здесь и ниже R множество действительных чисел.) Предположим что заданная система векторов линейно зависимая то есть хотя бы один из коэффициентов в () отличен от нуля и дважды продифференцируем правую и левую части уравнения () по переменной : e e e e e 9e.

7 Итак имеем систему из трех уравнений относительно неизвестных : e e e e e e () 9. e e e Если система векторов () линейно зависимая то она линейно зависимая при любом значении переменной поэтому не нарушая общности можно в () положить переменную равной любому действительному числу. Пусть. Отсюда (9) 9. Для определителя матрицы системы (9) имеем 9 и приходим к выводу что система (9) имеет единственное решение: = = =. Это противоречит нашему предположению о линейной зависимости заданной системы векторов то есть предположению что хотя бы один из коэффициентов в () отличен от нуля. Это значит что равенство () имеет место только при = = = то есть заданная система векторов линейно независимая. e Ответ: e e линейно независимая система векторов; Rg. Замечание. Зачем предположили что заданная система векторов линейно зависимая то есть хотя бы один из коэффициентов в () отличен от нуля? Если = = = то () превращается в тождество = и дифференцирование правой и левой части уравнения () по переменной лишено смысла.

8 . Введем обозначения для векторов заданной системы (): sin sin cos () Рассмотрим например вектор cos. Легко видеть cos sin ( ) () что по определению и означает линейную зависимость заданной системы векторов () или (). Найдем какой-либо базис этой системы векторов. Так как система () линейно зависимая то ее ранг меньше четырех. Попробуем найти какую-нибудь тройку линейно независимых векторов из списка sin sin cos. Вектор является линейной комбинацией векторов : ( ) (см. ()) и поэтому логично рассмотреть систему векторов sin sin. Приравняем их линейную комбинацию нулю: sin sin для всех R. () Как и при решении предыдущего примера предположим что система векторов sin sin линейно зависимая и продифференцируем уравнение () несколько раз по. Если в дальнейшем положить то выражение () превратится в тождество =. Поэтому возьмем и так как cos то для того чтобы получить систему из трех уравнений относительно при придется уравнение () четыре раза продифференцировать по : cos sin sin cos cos sin sin cos. Итак имеем следующую систему из пяти уравнений относительно неизвестных :

9 cos sin cos sin sin sin 9 cos sin sin cos. () При из системы () получим систему из трех уравнений: (). Очевидно система () имеет единственное решение: = = =. Пришли к противоречию с предположением о линейной зависимости системы векторов sin sin что и доказывает ее линейную независимость причем это максимальная линейно независимая подсистема. Ответ: sin sin cos линейно зависимая система векторов; Rg ; базис: sin sin ; разложение векторов системы () по указанному базису: ( ) С и с т е м ы л и н е й н ы х а л г е б р а и ч е с к и х у р а в- н е н и й А. Рассмотрим неоднородную систему A b. Т е о р е м а К р о н е кера - К а п е л л и. Система линейных алгебраических уравнений A b совместна тогда и только тогда когда Rg A Rg[ Ab ]. (Напомним что [ A b] расширенная матрица системы.)

10 Число базисных переменных равно Rg A; количество свободных переменных равно n Rg A. Б. Рассмотрим однородную систему A. Пусть A матрица размера m n. Т е о р е м ы.. Если Rg A n то система A определенная. (Другими словами имеет единственное решение а именно:.). Если Rg A n (в частности если m n) то система A неопределенная. (Имеет бесконечное множество решений среди которых есть конечно и нулевое:.) Число векторов в максимальной линейно независимой подсистеме или базисе решений системы A равно n Rg A то есть числу свободных переменных. Терминология. Всякая максимальная линейно независимая подсистема или базис решений системы A называется фундаментальной системой решений; число векторов в фундаментальной системе решений равно: n Rg A то есть числу свободных переменных. Пример. Указать какую-либо фундаментальную систему решений для следующей однородной системы линейных алгебраических уравнений: () ; Решение. Представим систему () в матричном виде: A где A матрица системы () столбец свободных членов

11 столбец неизвестных. Методом Гаусса найдем общее решение системы (): ] [A. () Отсюда. Выразим базисные переменные через свободные и получим общее решение системы (): ) ( ) (

12 для всех R. () (Для того чтобы компоненты векторов были целыми числами в () переобозначены свободные переменные: ). Система векторов (9) является фундаментальной системой решений заданной однородной системы (). Другими словами векторы (9) составляют базис системы векторов () то есть любое решение системы уравнений () представимо в виде линейной комбинации векторов (9). Выражение () есть разложение векторарешения по базису (9) а в качестве коэффициентов разложения выступают значения свободных переменных и. Подытожим: в этом примере размер матрицы системы () то есть m n. У ступенчатой матрицы () три строки отличны от нуля. Отсюда A Rg и как утверждалось выше число векторов в фундаментальной системе решений равно числу свободных переменных: A Rg n. Число базисных переменных равно A Rg. Автор: Н.С. НИКИТИНА