1. Для описания плоского движения тел достаточно описать движение точек одного сечения тела плоскостью, параллельной неподвижной плоскости.

Пусть тело перемещается параллельно неподвижной плоскости П1. Проведем через тело параллельно ей плоскость П2 . Сечение тела по определению будет перемещаться в этой плоскости.

Возьмем две произвольные точки ( А и В ) в сечении и рассмотрим движение отрезков, проведенных из точек перпендикулярно плоскости П1.

При движении тела отрезки АА1 и ВВ1 будут перемещаться параллельно самим себе, то есть поступательно. Это значит, что все точки отрезка АА1 будут иметь одинаковые траектории, одинаковые скорости и одинаковые ускорения.

То же самое можно сказать о скоростях и ускорениях всех точек тела, расположенных на отрезке ВВ1. Отсюда вывод о достаточности описания движения только точек тела, находящихся в сечении тела плоскостью, параллельной неподвижной плоскости.

2. Движение тела может рассматриваться как результат сложения поступательного движения и вращения тела относительно одной из точек тела, называемой полюсом.

Свяжем с движущейся плоскостью сечения подвижную систему координат Аxy с началом в точке А и рассмотрим движение этой системы осей относительно неподвижной системы координат OXY.

Точку тела, характеристики движения которой известны, в теории плоского движения принято называть полюсом. В приведенном случае полюсом является точка А.

По уравнениям плоского движения в любой момент времени можно определить положение, скорость и ускорение полюса и характеристики вращательного движения тела - то есть его угловую скорость и его угловое ускорение. Определяются и уравнения движения любой другой точки тела, положение которой относительно полюса задано. Здесь возможны следующие два варианта.

Здесь решается стандартная в начертательной геометрии задача перехода от одной системы координат к другой.

По уравнениям движения точки В могут быть определены траектория точки, ее скорость и ускорение. На практике же траектории точек тел при плоском их движении определяются исключительно редко, а для определения скоростей и ускорений точек используются векторные формулы, получаемые на основании теорем о скоростях и ускорениях точек при плоском движении. Эти теоремы и следствия из них рассмотрим чуть позже. Докажем предварительно третье предложение - теорему следующего содержания.

3. Характеристики вращательного движения тела при его

плоском движении не зависят от выбора полюса.

За полюс можно принимать любую точку тела. Это утверждение окажется очень полезным для решения всех задач, связанных с определением скоростей и ускорений точек тел при их плоском движении.

Формулировки теорем, с помощью которых определяются скорости и ускорения точек тел при их плоском движении, аналогичны. Поэтому сформулируем и докажем эти теоремы одну за другой.

Скорость любой точки тела при плоском движении равна геометрической сумме скорости полюса и скорости во вращении точки относительно полюса.

Ускорение любой точки тела при плоском движении равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения во вращении точки относительно полюса.

Первая теорема доказана.

Для доказательства теоремы об ускорениях точек продифференцируем по времени теорему о сложении скоростей.

Так как геометрическая сумма вращательного и осестремительного ускорений определяет полное ускорение т. В в ее вращении относительно полюса, можно считать доказанной и вторую теорему. Остается теперь внимательно разобраться с каждым из полученных векторных равенств и подумать об эффективном применении этих равенств и следствий из них при решении задач.

Из теоремы можно получить несколько очень полезных для решения задач следствий.

Следствие 1. Проекции скоростей точек тела при его плоском движении на прямую, соединяющую точки, равны.

Добавим, что следствие о равенстве проекций скоростей точек тел на соединяющую их прямую

справедливо и при любых других видах движения твердых тел.

Следствие 2. Разность проекций скоростей точек прямолинейного отрезка АВ на перпендикуляр к АВ равна скорости во вращении одной точки относительно другой.

Следствие 3. Концы векторов скоростей точек прямолинейного отрезка лежат на одной прямой и делят отрезок между концами векторов скоростей крайних точек на части в том же отношении, в каком точки делят сам отрезок.

Следствие 4. В любой момент непоступательного движения плоской фигуры на плоскости, связанной с фигурой, существует точка, скорость которой равна нулю.

Точку эту называют мгновенным центром скоростей ( принятое сокращение - М.Ц.С. ) и обозначают, как правило, буквой Р.

Доказательство следующее. Векторы скоростей точек плоскости, связанной с фигурой, определяются векторной суммой двух векторов, один из которых одинаков для всех точек плоскости, а другой зависит от положения точки на плоскости. Значит, на плоскости должна существовать точка, где вектор скорости во вращении относительно полюса равен по величине, но направлен противоположно вектору скорости полюса. Эта точка и будет иметь скорость, равную нулю, т.е. являться мгновенным центром скоростей.

1. При выборе в качестве полюса мгновенного центра скоростей величины и направления скоростей точек тела при его плоском движении определяются точно так же, как и при вращательном. Отличием является то, что для каждого момента движения тела положение мгновенной оси вращения необходимо находить. Соответственно необходимо находить и расстояния точек до этой оси.

2. Скорости всех точек фигуры при ее плоском движении пропорциональны их расстояниям до М.Ц.С. и перпендикулярны радиусам вращения - т.е. отрезкам, соединяющим точки с М.Ц.С.

3. Если уметь определять положение мгновенных центров скоростей звеньев плоских механизмов, то задачи на определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев этих механизмов окажутся ничуть не сложнее аналогичных задач на вращательное движение связанных между собой тел.

Все типовые случаи определения положения М.Ц.С. известны. В этом отношении случай, рассмотренный на рисунке выше, не является типичным. Угловые скорости звеньев плоских механизмов в задачах обычно являются искомыми величинами. И определяются они, как правило, по известной скорости одной из точек фигуры и ее расстоянию до М.Ц.С.

3. Случаи, когда векторы скоростей точек параллельны между собой

и перпендикулярны отрезку, соединяющему точки.

Эти случаи часто встречается, когда определяются угловые скорости тел качения

М.Ц.С. находится на пересечении линии, соединяющей точки, и линии, соединяющей концы векторов скоростей точек. Величины скоростей точек в этом случае должны быть известны.

При противоположном направлении векторов скоростей М.Ц.С. расположенмежду точками, скорости которых известны; при одинаковом направлении - со стороны меньшей скорости и на продолжении отрезка, соединяющего точки.

Угловые скорости тел в этом случае по скоростям двух точек могут определяться сразу (следствие 2) по формулам, приведенным рядом с рисунками. Находить расстояния точек до М.Ц.С. в этом случае, если это не требуется для определения скоростей каких-либо других точек, необязательно.

4. Случай, когда векторы скоростей точек параллельны между собой и не перпендикулярны отрезку, соединяющему точки.В этом случае принято говорить о мгновенно поступательном движении тела. А это значит, что в данный момент движения фигуры (звена АВ).

1) угловая скорость тела равна нулю;

2) М.Ц.С. находится в бесконечности ;

3) скорости всех точек тела равны между собой.

Следует добавить также, что равенство скоростей наблюдается только в данный момент движения тела. Ускорения точек тела различны.

Задачи на определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев

механизмов или тел при их плоском движении рассмотрены в главе 2.

Типовые случаи определения М.Ц.С. приведены на плакате 13к.

1. Концы векторов ускорений точек прямолинейного отрезка лежат на прямой, соединяющей концы векторов ускорений крайних точек, и делят отрезок прямой на части в том же отношении, в каком точки делят сам отрезок .

Доказывается это абсолютно так же, как следствие из предыдущей теоремы. Достаточно посмотреть на рисунок и определить ускорение какой-либо еще точки отрезка АВ.

2. В любой момент движения плоской фигуры (за исключением случая ее поступательного движения) на плоскости, связанной с фигурой, существует точка, ускорение которой равно нулю. Точку эту называют мгновенным центром ускорений (принятое сокращение - М.Ц.У.) и обозначают на чертеже, как правило, буквой Q.

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Замечание:момент импульса относительно точки — этопсевдовектор, а момент импульса относительно оси —псевдоскаляр.