Задание В10 Для успешного решения задач типа В10 необходимо
Обсуждение. Составим таблицу, в которой номер строки — число пальцев, показанных первым игроком, номер столбца — число пальцев, показанных вторым игроком, а на пересечении строки и столбца стоит общее число показанных пальцев, т. е. сумма номеров строки и столбца.
Всего имеется 9 равновозможных исходов, соответствующих девяти элементам таблицы. Общее число показанных пальцев четно в 5 исходах, нечетно — в 4, больше четырех — в 3 исходах, меньше двух — ни в одном. Вероятности равны соответственно , , , .
Задача 6. Какова вероятность того, что наудачу выбранное четырехзначное число составлено только из нечетных цифр?
Обсуждение. Всего четырехзначных чисел имеется 9000: они идут в натуральном ряду от 1000 до 9999. Так как нечетных цифр имеется 5, то на каждом из мест (разряды тысяч, сотен, десятков и единиц) может стоять любая из 5 цифр. Всего, таким образом, имеется 5*5*5*5 = 625 четырехзначных чисел, составленных только из нечетных цифр. Значит, искомая вероятность равна 625/9000 = 5/72.
Задача 7. Что вероятнее — выиграть у равносильного противника 3 партии из 4 или 5 партий из 8?
Обсуждение. Прежде всего надо ввести равновозможные исходы. Противники равносильны — это значит, что из большого числа партий примерно половина кончается победой первого, а половина — второго. Мы считаем, кроме того, что результаты нескольких партий не влияют на результаты остальных. Это соглашение дает нам возможность установить, что, скажем, в матче из четырех партий все 2*2*2*2 = 16 возможных последовательностей побед и поражений имеют одинаковую вероятность.
Рассмотрим в качестве примера большое число матчей из двух партий. Из n матчей примерно в n/2 в первой партии победит первый игрок. Поскольку результат первой партии не влияет на результат второй, то примерно в половине тех матчей, где первый игрок победил в первой партии, он проиграет во второй, всего примерно в n/2*1/2 = n/4 матчах. Аналогично события “победил в обоих партиях первый игрок”, “победил в первой партии второй игрок, а во второй — первый”, “в обоих партиях победил второй игрок” будут иметь место примерно в n/4 матчах, т. е. вероятности всех этих событий равны 1/4.
В дальнейшем в задачах мы будем сталкиваться со случаями, когда несколько опытов проводятся независимо друг от друга. Как в предыдущем образце, можно показать, что вероятность события “исход первого опыта есть A, а второго — B” равно произведению вероятностей событий “исход первого опыта есть A” и “исход второго опыта есть B”.
Вернемся к задаче. В матче из четырех партий имеется 16 равновероятных исходов — последовательностей побед и поражений первого игрока. Событию “первый игрок победил в 3 партиях” благоприятны 4 исхода, поскольку единственное поражение может стоять на одном из четырех мест. Значит, вероятность выиграть 3 партии из 4-х у равносильного противника равна 1/4.
В матче из 8 партий имеется 28 = 256 равновозможных исходов — последовательностей побед и поражений первого игрока. В скольких из них ровно 5 побед? Другими словами, сколько существует подмножеств из 5 элементов в множестве из 8 элементов? Комбинаторика подсказывает нам, что это есть число сочетаний из 8 элементов по 5 элементов, которое подсчитывается по формуле: . Таким образом,
Значит вероятность выиграть 5 партий из 8 у равносильного противника равна 56/256 = 7/32, что меньше 1/4 = 8/32 — вероятности выиграть три партии из четырех.
Задача 8. Пусть вы забыли одну цифру нужного вам номера телефона и набираете ее наудачу. Какова вероятность того, что вам придется сделать не более двух звонков?
Обсуждение. Вероятность того, что первый же раз вы наберете правильный номер равна 1/10 , поскольку цифр всего десять; все десять исходов — набор 1, набор 2 и т. д. — равновозможны, а благоприятным является только один из них. Если первый раз забытая цифра была набрана неправильно, то при втором звонке вы будете набирать одну из девяти оставшихся цифр, и вероятность успеха будет равна 1/9. Ровно два звонка будут сделаны с вероятностью 9/10*1/9 = 1/10. Вероятность того, что придется сделать не более двух звонков, равна 1/10 + 1/10 = 0,2.
Задача 9. Бросают три игральные кубика. Что вероятнее: сумма очков на верхних гранях равна 11 или эта сумма равна 12? Каковы вероятности этих событий?[6]
Обсуждение. Прежде всего найдем, сколькими способами можно представить 11 и 12 в виде суммы трех натуральных слагаемых, каждое из которых не превосходит 6. Будем выписывать суммы в порядке возрастания слагаемых. Начнем с 11. Если наименьшее слагаемое — 1, то 11 = 1 + 4 + 6 либо 11 = 1 + 5 + 5. Если 2, то 11 = 2 + 3 + 6 либо 11 = 2 + 4 + 5. Если 3, то 11 = 3 + 4 + 4 либо 11 = 3 + 3 + 5. Этими случаями (6) исчерпываются все представления 11 в виде суммы трех чисел, нанесенных на грани кубиков. Число 12 можно представить шестью способами: 12 = 1 + 5 + 6 = 2 + 4 + 6 = 2 + 5 + 5 = 3 + 3 + 6 = 3 + 4 + 5 = 4 + 4 + 4. Шевелье де Мере заключил отсюда, что 12 в качестве суммы будет встречаться столь же часто, как и 11. Однако результаты многих игр показали, что, вопреки расчетам де Мере, 11 встречается чаще. Именно тогда Мере усомнился в теории вероятностей и обратился к Паскалю за разъяснениями. Паскаль решил задачу. Оказалось, что теория вероятностей верна, а рассуждения де Мере ошибочны. Шевалье не учел, что. скажем, 4 + 4 + 4 может выпасть одним способом: на всех трех кубиках 4, а 1 + 4 + 6 — многими: на первом — 1, на втором — 4, на третьем — 6 или на первом — 6, на втором — 4, на третьем — 1 и т. д.
Найдем вероятности того, что сумма очков на верхних гранях равна 11, и того, что эта сумма равна 12. При бросании трех кубиков имеется 6*6*6 = 216 равновозможных исходов. Событие “сумма очков равна 11” может осуществиться одним из шести способов: “выпали числа 1, 4, 6”, “выпали числа 1, 5, 5” и т. д. Посчитаем, сколько для каждого из этих способов имеется благоприятных исходов. Событию “выпали 1, 4, 6” соответствуют 6 исходов, которые можно записать так: 146 (на первом кубике на верхней грани 1, на втором — 4, на третьем — 6), 164, 416, 461, 614, 641. Точно так же 6 исходов благоприятны для любого способа представления суммы в виде трех различных слагаемых. Событию “выпали 1, 5, 5” соответствует три исхода: 155, 551, 515. Всего для события “сумма очков равна 11” благоприятны 6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 27 исходов. А событию “сумма очков равна 12” благоприятны 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25 исходов, поскольку представлению 4 + 4 + 4 соответствует только один исход — 444. Итак, вероятность того, что сумма очков равна 11, есть 27/216 = 1/8, а вероятность того, что эта сумма равна 12, есть 25/216 = 1/8 - 1/108 Задача 10. В шахматном турнире участвуют 8 игроков. Номера шести игроков распределяются по жребию. Номер определяет положение игрока в турнирной лестнице. Предположим, что лучший игрок всегда побеждает второго по мастерству, а тот в свою очередь побеждает всех остальных. Второе место занимает проигравший в финале. Какова вероятность того, займет второй по мастерству игрок?
Обсуждение. Второй по мастерству игрок занимает второе место тогда и только тогда, когда он находится в той половине турнирной лестницы (верхней или нижней), в которой нет первого по мастерству игрока, поскольку в противном случае второй проиграет первому ранее финала. Поскольку имеется 7 ступеней турнирной лестницы (кроме ступени, занятой первым по мастерству игроком), которые может занимать второй по мастерству игрок, все эти исходы равновозможны, а 4 из них являются благоприятными для выхода в финал, то искомая вероятность равна 4/7.
Задача 11. Король Артур проводит рыцарский турнир, в котором порядок состязания определяется жребием (по турнирной лестнице). Среди восьми рыцарей, одинаково искусных в ратном деле, два близнеца. Какова вероятность того, что они встретятся в поединке?
Обсуждение. Обозначим близнецов A и B. Если A и B входят в одну пару в турнирной лестнице, что происходит с вероятностью 1/7 (для B равновозможны 7 мест, не занятых A), то близнецы заведомо встречаются в первом же туре. Вероятность того, что B находится в соседней паре, равна 2/7. В этом случае близнецы встречаются во втором туре) только тогда, когда они оба выиграют поединки первого тура, что происходит с вероятностью 1/4. Значит, вероятность события “близнецы встречаются во втором туре” равна 2/7*1/4 = 1/14. Наконец, вероятность того, что B находится в другой половине турнирной лестницы, равна 4/7, и в этом случае вероятность встречи равна 1/4*1/4 = 1/16, поскольку оба должны победить в обоих турах; вероятность события “близнецы встречаются в финале” есть 4/7*1/16 = 1/28. Все возможности перечислены, вероятность встречи в одном из туров есть сумма вероятностей встреч в первом, втором турах и финале, т. е. 1/7 + 1/14 + 1/28 = 1/4.
Задача 12. Задача о разделе ставки (вторая задача Шевалье де Мере, предложенная Паскалю). Подбрасывается монета. Первый игрок “набирает” гербы, а второй — решки. Тот, кто первым наберет три единицы, забирает ставку. Игра была прервана, когда у первого игрока имелось два герба, а у второго — одна решка. Ставка должна быть разделена пропорционально шансам на выигрыш. Как ее разделить?
Обсуждение. Полезно ввести опыт, состоящий в двукратном бросании монеты. Из четырех равновозможных исходов ГР (при первом бросании выпал герб, при втором — решка), ГГ, РГ, РР, в первых трех победа принадлежит первому игроку (в первых двух случаях в самой игре монету второй раз не бросают), в четвертом — второму. Шансы игроков на выигрыш относятся как 3 к 1. В этом отношении и надо разделить ставку.
1. Аргинская И. И. Обучаем по системе Занкова. М., 1991.
2. Блох А. Ш., Юркевич А. В. Первые темы теории вероятностей. Учебно-методическое пособие. Мн., 1978.
3. Бычкова Л. О., Сенютин В. Д. Об изучении вероятности и статистики в школе //Математика в школе. 1991. № 6. С. 9—12.
4. Горский Д. П. Краткий словарь по логике. М., 1991.
5. Гусев В. А., Орлов А. И., Розенталь А. Л. Внеклассная работа по математике в 6—8 классах. М., 1995.
6. Каменкова Н. Г. Элементы теории вероятностей: Учебное пособие. СПб, 1993.
7. Программы 12-летней общеобразовательной школы с рус. яз. обучения. Подготовительный — III кл. Мн., 1999.
8. Столяр А. А. Основы современной школьной математики. Ч. 1. Мн., 1975.
9. Тарасов Л. В. Неслучайная случайность. Ч. I. /Экспериментальный учебник развивающего типа по интегративному предмету “Закономерности окружающего мира” (VI класс). М., 1993.
10. Тихомирова А. Ф., Басов А. В. Развитие логического мышления детей. Яр., 1997.
11. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. II. М., 1983.
12. Эльконин Д. Б. Детская психология. М., 1960.
13. Юркевич А. В., Шербаф А. И., Жавнерко В. В. Об одном способе изложения теории вероятностей в школе //Новые технологии в системе непрерывного образования. Т. 2. Мн., 1995.
14. Юркевич А. В., Шербаф А. И. Теория вероятностей в задачах. Учебное пособие. Мн., 1994.
Задачи для самостоятельного решения:
В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 22 из Великобритании, 15 из Франции, остальные — из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции .
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет все три раза.
В среднем из 600 садовых насосов, поступивших в продажу, 3 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
В лотерее 100 билетов, из которых 10 выигрышных. Участник покупает три билета. Определить вероятность того, что хотя бы один билет будет выигрышным.
В урне 8 шаров: 3 белых и 5 чёрных. Какова вероятность, что вынутые наугад два шара окажутся а) белые; б) чёрные; в) одного цвета.
Из трёх орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,9, для второго и третьего орудий эти вероятности равны соответственно 0,5 и 0,8. Найти вероятность того, что а) только один снаряд попадёт в цель; б) все три снаряда попадут в цель .
Какова вероятность того, что в выбранном на удачу двузначном числе: а) цифры одинаковы, б) цифры различны.
Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает два вопроса, содержащиеся в его экзаменационном билете.
Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой вопрос билета, равна 0,9. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить хотя бы на два вопроса билета.
С первого станка в сборку поступает 50% деталей, со второго - 30%, с третьего - 20%. Из них с первого станка - 0,1% бракованных, со второго - 0,2%, с третьего - 0,25%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь - брак.
В коробке 5 белых, 2 синих и 3 красных мяча. На удачу берут два мяча. Найти вероятность того, что мячи будут: а) одного цвета, б) разного цвета.
Вероятность брака при выпуске гаек равна 0,01. Найти вероятность того, что в партии из 200 гаек: а) все гайки без брака;б) не более двух гаек имеют брак.
Вероятность появления события в каждом из 400 испытания равна 0,2. Найти вероятность того, что отклонение относительной частоты появления события от его вероятности по абсолютной величине не превзойдёт 0,05.
Вероятность появления события в одном испытании равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать отклонение относительной частоты появления события от его вероятности не более чем на 0,05 ?
Вероятность всхожести семян некоторого растения равна 0,9. Какова вероятность того, что среди 100 посеянных семян взойдёт не менее 80?
Вероятность неточной сборки прибора равна 0,1. Найти вероятность того, что среди 900 приборов окажется от 750 до 850 точных.
На прядильной фабрике работница обслуживает 500 веретен. Вероятность обрыва пряжи в течение некоторого времени t равна 0,001. Найти вероятность того, что за это время произойдёт не более двух обрывов пряжи.
Вероятность проявления события в каждом из независимых испытаний равна р = 0,5. Найти число испытаний n, при котором с вероятностью Р = 0,9973 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.
2.Сколькими способами можно расположить в электрической цепи 7 различных приборов? 3.Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского, на любой другой из этих 5 языков? 4. Вова точно помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут буквы H, N, O и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка. Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит не на втором месте? 5. Сколько разных типов гамет может дать гибрид, гетерозиготный по 3 независимым признакам? 6. Перечислить все трехзначные числа, в записи которых встречаются только цифры 1 и 2. 7. Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч. Сколько различных вариантов посещения футбольного матча для троих друзей? 8. Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары? 9. . Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов занять эти два места на стадионе? 10. . В кафе предлагают два первых блюда: борщ и рассольник – и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель. 11. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, при условии, что цифра в числе не может повторяться? (перебор с ограничением). 12. . Стадион имеет 4 входа: A, B, C, D. Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких способов? 13. . В магазине продают кепки трех цветов: белые, красные и синие. Кира и Лена покупают себе по одной кепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек? Перечислите их. 14. При встрече каждый из друзей пожал другому руку (каждый пожал каждому). Сколько рукопожатий было сделано, если друзей было четверо? 15. По окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками (каждый вручил свою карточку каждому). Сколько всего визитных карточек было роздано, если во встрече участвовало 5 человек? 16. Перечислить все возможные цветовые сочетания брюк, свитера и ботинок, если в гардеробе имеются брюки трех цветов: серые, бежевые и зеленые; свитера двух расцветок: песочный и малиновый; ботинки двух цветов: черные и коричневые. 17. Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту Антоново – Борисово – Власово - -Грибово. Из Антонова в Борисово можно сплавиться по реке или дойти пешком. Из Борисова во Власово можно дойти пешком или доехать на велосипедах. Из Власова в Грибово можно доплыть по реке, доехать на велосипедах или дойти пешком. 18. В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык, 6 человек знают английский, 6 – немецкий, 7 – французский, 4 знают английский и немецкий, 3 – немецкий и французский, 2 – французский и английский, 1 человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знают только английский язык? Сколько человек знают только один язык? 19. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске черный и белый квадраты, не лежащие на одной горизонтали или одной вертикали? 20. Имеется 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма? 21. Сколькими способами можно обозначить вершины данного треугольника, используя буквы A, B, C, D, E и F? 22. Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов может он выбрать? 23. Сколькими способами можно разделить 6 различных конфет между тремя друзьями? 24. Сколько различных маршрутов может избрать пешеход, решив пройти 9 кварталов, из них 5 на запад и 4 на юг? 25. В магазине продают кепки трёх цветов: белые, красные и синие. Наташа и Лена покупают себе по одной кепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек? 26. Сколькими способами можно обозначить вершины куба буквами A, B, C, D, E, F, G, K? 27. Сколькими способами можно разложить 12 различных деталей по трем ящикам? 28. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 13 участниками конкурса? 29. Сколько различных делителей, включая 1, имеет число а)2•3•5•7•11? б) 195? 30. Сколько различных произведений, кратных 10, можно составить из множителей 2, 7, 11, 9, 3, 5? 31. Напишите 11 строку треугольника Паскаля. 32. Сколько можно составить пятибуквенных слов из 7 гласных и 25 согласных букв, если гласные и согласные должны чередоваться? 33. Сколько четырехбуквенных слов можно составить из букв слова «кибитка»? 34. Сколькими способами можно выбрать 3 краски из имеющихся 5 различных красок? 35. Во скольких девятизначных числах все цифры различны? 36.Сколько существует семизначных телефонных номеров, в первых трех цифрах которых не встречаются 0 и 9? 37. Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным? 38. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. какова вероятность того, что взятый наугад учеником билет имеет: 1) однозначный номер; 2) двузначный номер? 39. Ученик при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что ученику достанется на экзамене выученный билет? 40. Женя купил 2 лотерейных билета, и один из них оказался выигрышным. Можно ли утверждать, что вероятность выигрыша в лотереи ? 41. Для школьного новогоднего вечера напечатали 125 пронумерованных пригласительных билетов, между которыми предполагается разыграть главный приз. Какова вероятность, что номер счастливчика будет оканчиваться: а) на тройку; б) на девятку? в) Вова получил пригласительный билет с номером 33, а Таня – 99. Верно ли, что у Вовы больше шансов получить главный приз? 42. Два друга живут в одном доме, а учатся в разных классах. Уроки в школе заканчиваются в интервале от 13 до 14 часов. После занятий они договариваются ждать друг друга на автобусной остановке в течение 20 минут. Сколько приблизительно раз за год им удаётся поехать домой вместе, если в году 200 учебных дней? 43. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры. 44. В классе 30 учащихся. Из них 12 мальчиков, остальные девочки. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это девочки? 45. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, Антон забыл, в какой последовательности идут три последние цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые 4 цифры, которые знал, и наугад комбинацию из цифр 1, 5 и 9. какова вероятность того, что Антон набрал верный номер? 46. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все 3 тетради окажутся в клетку? 47. Четыре билета на ёлку распределили по жребию между 15 мальчиками и 12 девочками. Какова вероятность того, что билеты достанутся 2 мальчикам и 2 девочкам? 48. На полке 12 книг, из которых 4 – это учебники. С полки наугад снимают 6 книг. Какова вероятность того, что 3 из них окажутся учебниками? 49. Во время тренировки в стрельбе по цели было сделано 30 выстрелов и зарегистрировано 26 попаданий. Какова относительная частота попадания по цели в данной серии выстрелов? 50. Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в партии из случайно отобранных 100 книг. Найти относительную частоту появления бракованных книг 51. На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l длины 10 см. найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на большой отрезок, попадет и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. 52. Внутри квадрата со стороной 10 см выделен круг радиусом 2 см. случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг? 53. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения. 54. Перед окопами вдоль прямой линии через каждые 10м установлены противотанковые мины. Перпендикулярно этой линии движется танк, ширина которого 3м. Какова вероятность того, что танк пересечет линию установки мин невредимым, то есть, что мина не взорвется? 55. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара. 56. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете. (Решить двумя способами: с помощью 1 и 4 теорем). 57. Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй 0,008; в третий 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны 58. Круговая мишень состоит из трех зон: I, II, III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле 0,15, во вторую 0,23, в третью 0,17. найти вероятность промаха. 59. Среди ста лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранные билета окажутся выигрышными 60. В коробке 9 одинаковых радиоламп, 3 из которых были в употреблении. В течение рабочего дня мастеру для ремонта аппаратуры пришлось взять две радиолампы. Какова вероятность того, что обе взятые лампы были в употреблении? 61. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический? 62. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что на первом кубике выпадет четное число очков, а на втором – число, меньшее 6? 63. Имеется 3 ящика, содержащих 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными. 64. Подбрасываем две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба? 65. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р1=0,7; р2=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий. 66. Отдел технического контроля проверяет на стандартность по двум параметрам серию изделий. Было установлено, что у 8 из 25 изделий не выдержан только первый параметр, у 6 изделий – только второй, а у 3 изделий не выдержаны оба параметра. Наудачу берется одно из изделий. Какова вероятность того, что оно не удовлетворяет стандарту? 67. В урну, содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету). 68. Из 10 учеников, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо – хорошо, двое – удовлетворительно, а один совсем не готовился – понадеялся на то, что все помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся ученики могут ответить на все 20 вопросов, хорошо – на 16 вопросов, удовлетворительно – на 10, и не подготовившиеся – на 5 вопросов. Каждый ученик получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный первым ученик ответил на все три вопроса. Какова вероятность того, что он отличник? 69. Подбрасываем монету 10 раз. Какова вероятность двукратного появления герба? 70. Вероятность того, что изделие не пройдет контроля, равна 0,125. какова вероятность того, что среди 12 изделий не будет ни одного забракованного контролером? 71. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы. 72. Вы играете в шахматы с равным по силе партнером. Чего следует больше ожидать: трех побед в 4 партиях или пяти побед в 8 партиях? 73. Сколько раз придется бросать игральную кость, чтобы вероятнейшее число появления шестерки было бы 32? 74. С разных позиций по мишени выпускают 4 выстрела. Вероятность попадания первым выстрелом примерно 0,1, вторым – 0,2, третьим – 0,3 и четвертым – 0,4. Какова вероятность того, что все четыре выстрела - промахи? 75. В буфете есть пять видов булочек и четыре сорта чая. Сколькими способами можно купить булочку с чаем? Ответ: 20 76. . Между отделом снабжения и отделом продаж проложено пять телефонных кабелей, между отделом продаж и отделом логистики – три телефонных кабеля, между отделом снабжения и отделом маркетинга – четыре кабеля, между отделом маркетинга и отделом логистики – два кабеля. Сколькими способами отдел снабжения может связаться с отделом логистики, если можно установить связь между отделами через промежуточный отдел. Ответ: 23 77. В камере хранения железнодорожного вокзала установлено четыре колесика с цифрами от 0 до 9. Сколько существует возможных кодов, которые можно составить, не используя в коде одинаковых цифр? 78. Пять друзей купили билеты на первое, второе, третье и пятое места первого ряда кинотеатра. Сколькими способами друзья могут посетить киносеанс? Ответ: 120 79. Пять друзей купили билеты на четыре места первого ряда кинотеатра. Сколькими способами друзья могут посетить киносеанс? Ответ: 5 80. На балу присутствует восемь дам и восемь кавалеров. Сколькими способами можно сформировать пары для венского вальса? Ответ: 40320 81. В автомобиле всего шесть мест. Сколькими способами шесть человек могут расположиться в автомобиле, если место водителя могут занять только четверо из них? Ответ: 480 81. В собрании участвовало 50 человек. Каждый участник собрания обменялся с каждым визиткой. Сколько всего визиток было роздано на собрании? Ответ: 2450 82. На международном саммите присутствовало 12 делегатов от разных стран. Каждый делегат обменялся с каждым рукопожатием. Сколько было совершено рукопожатий? Ответ: 66 83. Между сборными двух школ должен пройти футбольный матч. Перед началом матча каждый игрок команды из одной школы пожал руку каждому игроку команды из другой школы. Сколько всего игроков должно принять участие в матче, если всего было совершено 143 рукопожатия? Ответ: 24 84. Выпускница хочет подвязать к платью трехцветную ленточку (все цвета разные). Сколькими способами она может сшить эту ленточку, имея пять лоскутов ткани разных цветов? Ответ: 60 85. Выпускница хочет подвязать к платью трехцветную ленточку (все цвета разные). Сколькими способами она может выбрать цвета для шитья ленточки, имея пять лоскутов ткани разных цветов? Ответ: 10 86. У одного нумизмата семь монет, у второго нумизмата пять монет. Сколькими способами можно обменять две монеты одного нумизмата на две монеты второго нумизмата? Ответ: 210 87. Из колоды в пятьдесят две карты наугад извлечены десять карт. В скольких случаях среди вытянутых карт окажется ровно три короля? 88. На почте имеется три вида марок. Сколькими способами на шесть конвертов с письмами можно поставить марку? 89. Для экзамена подготовили 15 билетов. Студент выучил 9 билетов. Какова вероятность того, что студент ответит на вытянутый наудачу билет?90. Для экзамена подготовили 15 билетов. Студент не выучил 3 билета. Какова вероятность того, что студент ответит на вытянутый наудачу билет?91. В камере хранения железнодорожного вокзала установлено четыре колесика с цифрами от 0 до 9. Турист забыл последнюю цифру и выставил ее наудачу. Какова вероятность того, что камера хранения не откроется? 92. В буфете продается 20 булочек, 8 из которых – с корицей, остальные – с повидлом. Продавщица берет наугад две булочки. Какова вероятность того, что обе булочки с повидлом? Ответ округлите до сотых. 93. На полке 12 книг, 4 из которых – автобиографии. С полки упала половина всех книг. Какова вероятность того, что половина из упавших книг – автобиографии. Ответ округлите до сотых.94. У Ольги две пары перчаток. Уходя из дома, она берет две перчатки наугад. Какова вероятность того, что она выйдет на улицу в парных перчатках? Ответ округлите до сотых.95.В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.