Лекция 6. Развитый хаос в гамильтоновых системах. 1. Стандартное отображение. 2. Островки устойчивости. 3. Диффузия в фазовом пространстве.

1 Лекция 6. Развитый хаос в гамильтоновых системах 1. Стандартное отображение. 2. Островки устойчивости. 3. Диффузия в фазовом пространстве.

2 1. Стандартное отображение 1.1 Ротатор под действием δ-импульсов Периодические импульсы уравнения движения: Стержень, закрепленный в шарнире без трения, без силы тяжести. Момент инерции и длина равны 1. На свободный конец в моменты времени t = 0, T, 2T, действует в вертикальном направлении кратковременная сила K. В канонических переменных (момент вращения, угол) гамильтониан системы выглядит как

3 Заметим, что поскольку Гамильтониан можно переписать в виде Этот гамильтониан описывает движение заряженной частицы в бесконечно широком волновом пакете с гармониками одинаковой амплитуды. Из уравнений движения видно, что между двумя толчками I = const, θ = I t + const. При каждом толчке θ остается непрерывным, а I изменяется на величину K sin θ. Пусть ( I,θ) значения переменных непосредственно перед n-м толчком, а - перед (n+1)-м толчком. Тогда,,

4 1.2 Основные свойства стандартного отображения Получившееся отображение T K : называют стандартным отображением (или отображением Чирикова-Тейлора). Переменная θ может быть определена по модулю 2π. Более того, стандартное отображение инвариантно также и относительно сдвига на 2π по переменной I, точнее ( I + 2π k, θ + 2πn) = ( I + 2πk, θ + 2πk + 2πn) T K Поэтому возможны различные варианты графического изображения динамики.

5 При K = 0 возмущение отсутствует, и отображение имеет тривиальный вид: Траектории на плоскости (θ, I) лежат на прямых I=I 0, причем если отношение I 0 /2π иррационально, траектория заполняет эту прямую всюду плотно (по θ mod 2π), а если рационально, то замыкается через конечное число итераций отображения (т.е. попадает только в конечное число точек). При малых K можно заменить разности производными: Это уравнения движения нелинейного маятника с гамильтонианом Это приближение соответствует отбрасыванию в гамильтониане ротатора всех гармоник возмущения, кроме нулевой.

6 I I θ θ Фазовый портрет стандартного отображения при K=0.5. Четыре фундаментальных области (слева) изум окрестности седловой точки (справа). Видны неразрушившиеся инвариантные кривые, близкие к нерезонансным кривым (прямым) невозмущенной системы.

7 K=0.9 а) образ начальных условий в квадрате со стороной и центром в седловой точке после 36 итераций; б) зум в окрестности седловой точки; в) после 50 итераций; г) хаотическая область, покрытая итерациями одной начальной точки.

8 С ростом параметра возмущения K остается все меньше и меньше неразрушенных инвариантных кривых, проходящих от θ=0 до θ=2π. Последними разрушаются кривые, соответствующие «наиболее иррациональному» отношению I 0 /2π (золотому сечению): ( 5 1) / 2. Это происходит при K=K c = I I θ Cлева: K=K c. Видны последние неразрушенные инвариантные кривые. Справа: K=1.

9 Стандартное отображение: а) K=0, b) K=0.25, c) K=0.9, d) K=1.5, e) K=3.0, f) K=10.0

10 2. Островки устойчивости. Островки соответствуют различным резонансам между невозмущенной системой и возмущением. Их местоположение, размеры и вид изменяются с изменением параметра возмущения. 2.1 Островки, соответствующие «режиму ускорителя» Рассмотрим стандартное отображение: Пусть Соответствующее решение называется режимом ускорителя (accelerator mode):. Вдоль такого решения p растет со временем (числом итераций n) линейно, а x квадратично.

11 Исследуем устойчивость этого решения. Матрица Якоби для стандартного отображения имеет вид: T K Характеристическое уравнение: Характеристические показатели: Решение устойчиво, если оба корня комплексны: или Если, например, критическое значение : при режим ускорителя неустойчив, апри в фазовом пространстве есть область устойчивости.

12 Островок устойчивости при K = > K c Траектории внутри островка соответствуют режиму ускорителя. Островок рождается в результате бифуркации седло-центр: K < K c K = K c K > K c

13 2.2 «Мерцающие» островки Существуют в некотором интервале значений K, исчезают только при K = K c, принадлежащем этому интервалу. K < K c K = K c K > K c

14 «Мерцающий» островок, K = Видно «прилипание» траектории к границе островка.

15 Еще один пример прилипания: одна траектория стандартного отображения после 10 9 итераций, K = (слева). Справа: зум окрестности седловой точки.

16 2.3 Граничные островки Расположены в области хаоса вблизи границы другого (более крупного) островка. При изменении K происходят разнообразные бифуркации, в результате которых одни островки исчезают, другие рождаются. Например: гамильтоновская бифуркация вилки.

17 Самоподобная структура островков вокруг островка, соответствующего режиму ускорителя, K =

18 3. Диффузия в фазовом пространстве. 3.1 Уравнение диффузии, нормальная диффузия. Рассмотрим стандартное отображение: При происходит быстрое размешивание по фазе x, и ее распределение можно считать однородным. Усредняя по x, получаем. Следовательно, Уравнение диффузии для функции распределения P (p,t): В частности, p,

19 Необходимым условием применимости диффузионного приближения является малость изменения на каждом шаге отображения: Это выполнено при, т.е. при достаточно большом времени наблюдения. Слева: эволюция распределения 10 6 фазовых точек: начальные условия распределены равномерно в квадрате (-π,π)x(-π,π), K = 10. На достаточно больших временах детерминированная система ведет себя, как стохастическая (броуновское движение).

20 3.2 Аномальная диффузия Это была идеализированная картина. На самом деле, можно построить графики зависимости нормированного коэффициента диффузии от K: Выбросы на графике говорят о недиффузионном характере эволюции. По-видимому, это связано с наличием в фазовом пространстве островков различных типов и «прилипанием» траекторий к их границам.

21 Численный анализ показывает, что, где 1< µ p <2. Такая диффузия называется аномальной. Например, при K= (возможен режим ускорителя), Типичная траектория:,

Лекция 5. Разрушение инвариантных торов гамильтоновых систем 1. Теория возмущений интегрируемых гамильтоновых систем (продолжение). 2. Разрушение резонансных торов. 3. Нелинейный резонанс. 1. Теория возмущений

Лекция 8. Разрушение адиабатической инвариантности на сепаратрисах и резонансах. 1. Системы с переходами через сепаратрису. 2. Рассеяние на резонансе и захват в резонанс. 1. Системы с переходами через

СЕМИНАР 7 Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка. Классическая система В. Вольтерра. Аналитическое исследование (определение стационарных состояний и их устойчивости)

Динамические системы и методы математического моделирования Гамильтоновы системы Гамильтоновы системы Широкий класс физических систем, хаотическое движение в которых было обнаружено (Пуанкаре, 89) задолго

Лекция 7. Метод усреднения, адиабатические инварианты. 1. Метод усреднения. 2. Адиабатические инварианты. 1. Метод усреднения. 1.1 Принцип усреднения Рассмотрим систему Она является малым возмущением системы

Лекция 3 Устойчивость равновесия и движения системы При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде d dt A Y где вектор-столбец квадратная матрица постоянных коэффициентов

Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка выше первого и их сведение к системам первого порядка.

Лекция 6. Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постоянными действительными коэффициентами. Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными действительными

Семинар по теме Дифференциальные уравнения с малым параметром апреля 16 г. Исследование гармонического осцилятора с возбуждающей силой Найдём общее решение дифференциального уравнения гармонического осциллятора

Лекция 3. Фазовые потоки на плоскости 1. Стационарные точки, линеаризация и устойчивость. 2. Предельные циклы. 3. Бифуркации фазовых потоков на плоскости. 1. Стационарные точки, линеаризация и устойчивость.

Бифуркации Хаотических Режимов Обратимого Отображения при Взаимодействии Резонансов и Аттракторов В.Ю. Гончар А.В. Институт теоретической физики ННЦ Харьковский Физико-Технический Институт НАН Украины

Обыкновенные дифференциальные уравнения Лекторы: В. А. Кондратьев, Ю. С. Ильяшенко III IV семестры, программа экзамена 2003 2004 г, варианты 2001 2009 г. 1. Программа экзамена 1.1. Первый семестр Введение.

Динамические системы и методы математического моделирования Элементы теории бифуркаций Понятие бифуркации Происхождение термина бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) связано с тем фактом, что динамическая

Механические колебания Гармонические колебания Общие определения Колебаниями называют периодическое или почти периодическое движение или процесс Если колебания происходят при отклонения системы от устойчивого

Лекция 4. Волновые уравнения 1. Вывод уравнения колебаний струны 2. Уравнение продольных колебаний стержня 3. Начальные условия, краевые условия 4. Постановка задач 1. Вывод уравнения колебаний струны

Майер РВ, г Глазов Метод компьютерного моделирования при изучении физических явлений Часто аналитические методы не позволяют исследовать эволюцию сложных систем, или их применение связано со сложными математическими

Динамические системы и методы математического моделирования Сценарии перехода к хаосу Теорема Пуанкаре-Бендиксона (N = 2) Пусть R замкнутое ограниченное подмножество плоскости, a x f(x) - непрерывно дифференцируемое

ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1. Устойчивость линейной системы Рассмотрим систему двух уравнений. Уравнения возмущенного движения имеют вид: dx 1 dt = x + ax 3 1, dx dt = x 1 + ax 3,

Понятие о бифуркации. Бифуркации положений равновесия. Дифференциальные уравнения динамических систем часто зависят не только от фазовых переменных, но и параметров, т.е. имеют следующую структуру: ẋ =

АКАДЕМИЯ НАУК СССР УФН 1991 TOM CTO ШЕСТЬДЕСЯТ ПЕРВЫЙ Журнал издается с апреля 1918 г. Август 1991 г. Том 161, 8 УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК 534.222 КЛАССИЧЕСКИЕ НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА И ХАОС ЛУЧЕЙ В ЗАДАЧАХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

В.В. Киселев, Р.М. Ткаченко Замкнутая трехуровневая модель системы с обратной связью Рассмотрим динамику компонентов X 1, X 2 и X 3 системы, которая представлена схемой (рис.1): Рис. 1 Структура трехуровневой

Семинар 4 Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Кинетические кривые. Особые точки. Устойчивость стационарного состояния. Линеаризация системы в

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского А.И. Малышев Избранные главы теории нелинейных колебаний: резонансная теория возмущений

1 ЛЕКЦИЯ 3 Бифуркация Хопфа. Рождение предельного цикла. Мягкая и жесткая потеря устойчивости. Аналогия с фазовыми переходами I и II рода. Среди трех бифуркаций при значениях управляющего параметра λ =

Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 5. Понятие устойчивости решения 1. Предварительные замечания

2. Динамические системы Постановка задачи В широком смысле динамическими системами принято называть математические модели, описывающие временную эволюцию систем, поведение которых однозначно определяется

515 УДК 629.735 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС С ОСОБЫМИ ТОЧКАМИ Н.Н. Бутенина Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Россия, 603005, Нижний Новгород, ул. Ульянова, 10 E-mail: n.n.butenuna@mail.ru

Тема 5. Механические колебания и волны. 5.1. Гармонические колебания и их характеристики Колебания процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. В зависимости от физической природы повторяющегося

5. Устойчивость аттракторов 1 5. Устойчивость аттракторов В прошлом разделе мы научились находить неподвижные точки динамических систем. Также мы выяснили, что существует несколько различных типов неподвижных

8.04.07 Занятие 9. Предельные циклы На фазовой плоскости периодическим решениям автономной системы f ( ( g( соответствуют замкнутые траектории циклы. Замкнутая изолированная траектория называется предельным

Лекция 1 Элементы качественного анализа динамических систем с непрерывным временем на прямой Будем рассматривать автономное дифференциальное уравнение du = f(u), (1) dt которое может быть использовано

1 ЛЕКЦИЯ 2 Системы нелинейных дифференциальных уравнений. Пространство состояний или фазовое пространство. Особые точки и их классификация. Условия устойчивости. Узел, фокус, седло, центр, предельный цикл.

Вычисление фазовой скорости звуковых волн одиночного тела и среды Якубовский Е.Г. e-mai aubovi@ramber.ru Вычисление фазовой скорости материальных тел и среды сложная задача. Следует различать постоянную

906 УДК 5:5336 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ТРЕУГОЛЬНЫХ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ ПЛОСКОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ В СЛУЧАЯХ ДВОЙНОГО РЕЗОНАНСА ОВ Холостова Московский авиационный институт (национальный

Д. А. Паршин Физика открытых систем Лекция ЛЕКЦИЯ Инвариантная мера. Корреляционная функция. Детерминированная диффузия. Инвариантная мера Мы видим, что в результате, например, сдвига Бернулли последовательные

Теория устойчивости Ляпунова. Во многих задачах механики и техники бывает важно знать не конкретные значения решения при данном конкретном значении аргумента, а характер поведения решения при изменении

3. Программа курса «Теоретическая механика» Смысловой модуль 1. Описание механических систем методами Ньютона и Лагранжа. Тема 1. Обобщенные координаты и связи. Пределы применимости классической механики.

Лекция 3 Связь амплитуды и периода нелинейных колебаний 1. Анализ зависимости периода от амплитуды в колебательных решениях уравнения Дюффинга. Рассмотрим уравнение Дюффинга класса А: d x 3 x x 0. (3.1)

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы Пусть имеется n степеней свободы. q 1, q 2,,

18 Расщепление сепаратрис Сначала напомним, что такое отображение Пуанкаре. Пусть рассматривается произвольная система дифференциальных уравнений ẋ = v(x), x M Пусть γ(t) некоторое периодическое решение.

стр. Лекция 3 УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДУ Если некоторое явление описывается системой ДУ dx dt i = f (t, x, x. x ), i =..nс начальными i n условиями x i (t 0 ) = x i0, i =..n, которые обычно являются

ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО АВТОНОМНОГО УРАВНЕНИЯ -ГО ПОРЯДКА.. Постановка задачи. Рассмотрим автономное уравнение вида = f. () Как известно, это уравнение эквивалентно следующей нормальной системе

Лекции 7, п.4. РЕЗОНАНСНОЕ ТРЕХВОЛНОВОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В РАВНОВЕСНЫХ СРЕДАХ Волны с отрицательной энергией встречаются не столь часто, и являются в значительной степени экзотикой для большинства приложений.

Глава 7 Понятие об асимптотических методах Лекция Регулярно и сингулярно возмущенные задачи При построении математических моделей физических объектов, характеризующихся различными масштабами по пространству,

Перенос примесей вихревыми системами теория, лабораторное и численное моделирование Кострыкин С.В. Институт Вычислительной Математики РАН Москва, 119991, ул.губкина, 8 kostr@inm.ras.ru совместно с сотрудниками

Лекция 7 6. Неслоистые течения 6.1 Плоское течение вблизи критической точки Рассмотрим тело, расположенное в набегающем на него потоке (рис..9). Для определенности будем считать течение плоским, т.е. тело,

Лекция 9. Метод параллельной стрельбы решения краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Некоторые сведения из вычислительной математики Анализ прикладного программного обеспечения

УТВЕРЖДЕНО Проректор по учебной работе и довузовской подготовке А. А. Воронов 9 января 2019 года ПРОГРАММА по дисциплине: Аналитическая механика по направлению подготовки: 03.03.01 «Прикладные математика

118 Глава 2 14. Гамильтоновы системы 119 сти фазового пространства (теорема Лиувилля). Суть последнего утверждения состоит в том, что если в начальный момент времени t 0 фазовые точки непрерывно заполняли

АЛДАЖАРОВА МАЙРА МАУЛЕНОВНА ОБ ОЦЕНКЕ И УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ АННОТАЦИЯ диссертации Алдажаровой М.М. на соискание степени доктора философии (PhD) по специальности 6D6-Математика

7 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Собственные колебания Гармоническими колебаниями материальной точки называется движение, при котором смещение от положения устойчивого равновесия зависит от времени по закону

Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

7.0.07 Занятие. Динамические системы с непрерывным временем на прямой. Задача 4. Построить бифуркационную диаграмму и типичные фазовые портреты для динамической системы: d dt Решение уравнения f (, 5 5,

ЛЕКЦИЯ 19 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА. ИНТЕГРАЛ ЯКОБИ 1. Дифференциальные уравнения аналитической динамики Начнём эту лекцию с темы,

А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Один из выпусков «Курса высшей математики и математической физики» под редакцией А.Н.Тихонова, В.А.Ильина, А.Г.Свешникова. Учебник создан

1 лет А.Б. Мигдалу, Черноголовка, 6 июня 11 г. Ионизация атомов в сильном низкочастотном электромагнитном поле В.П. Крайнов, Московский физико-технический институт, 1417 г. Долгопрудный 1. Введение Модель

«ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ» (часть. лекция 6) Понятие устойчивости. Работа А.М.Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения» (проф.в.н.шамберов) Основы современной теории устойчивости были

СЕМИНАР 9 Занятие в компьютерном классе. Колебательные системы. Локальная модель брюсселятора. Построение фазовых портретов при разных значениях параметров. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ Для биологических систем

Лекция Применение эллиптических функций для интегрирования уравнений нелинейных колебаний «Естественным» способом описания линейных колебаний были тригонометрические функции sin x cos x Для описания нелинейных

6.Бифуркации 1 6.Бифуркации Изучая нелинейную динамику, мы с Вами сталкивались со все более сложными численными методами исследования динамических систем. Теперь еще более усложним нашу задачу. Напомним,

Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

XII Международная Жаутыковская Олимпиада/Теоретический тур с. 1/8 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ТУРА Внимание: баллы в оценках не делятся! Задача 1 (1, балла) Задача 1А (4, балла) При кеплеровом движении

Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Вычисление фазовой скорости звуковых волн одиночного тела и среды Якубовский ЕГ e-mi ubovi@rmberru Вычисление фазовой скорости материальных тел и среды сложная задача Следует различать постоянную фазовую

Нелинейный маятник. 1 Безразмерное уравнение движения физического маятника с вязким трением. Уравнение движения физического маятника с учётом вязкого трения: I φ + b φ + mga sin(φ) =, (1) где I момент

Лекция 3 Уравнения движения простейших механических колебательных систем при отсутствии трения. Пружинный, математический, физический и крутильный маятники. Кинетическая, потенциальная и полная энергия

Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения

Семинар 3 Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями. Решение дискретного уравнения. Неподвижная точка. Устойчивость неподвижной точки. Дискретное логистическое уравнение. Бифуркация

1 Условие перехода к турбулентному режиму нелинейных уравнений в частных производных Якубовский ЕГ e-mai yaubovi@ramberru Условием перехода к турбулентному хаотическому режиму является наличие кратных

Глава 5. Теория устойчивости Во многих задачах небесной механики не удается аналитически установить факт интегрируемости исходной канонической системы. Более того, существование динамического хаоса, строго

Метод медленно меняющихся амплитуд. Координаты Вандер-Поля. Принцип u u cos sin v v sin cos Вращающаяся система координат v u Координаты Ван-дер-Поля. u и v называются координатами Ван-дер-Поля. Описывают

1879 УДК 531.36:531.38 О ДИНАМИКЕ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ НЕУПРУГИХ СОУДАРЕНИЯХ С ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКЛОСТЬЮ А.П. Маркеев Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН Россия, 119526, Москва, пр.

Лекция 9. Хаос в одномерных отображениях и диссипативных системах. 1. Одномерные отображения. 2. Универсальность Фейгенбаума. 3. Аттрактор Рёсслера. 1. Одномерные отображения. 1.1 Треугольное отображение

ЛЕКЦИЯ 6 Динамическая устойчивость До сих пор мы имели дело со статической устойчивостью системы. То есть система возвращается в свое положение равновесия после слабого его возмущения (после изменения

1 Вывод уравнений для возмущений течения жидкости 1.1 Возмущения в виде бегущих волн Запишем полную систему уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости, состоящую из уравнения неразрывности и трёх уравнений

Семинар 9 Линейный анализ устойчивости гомогенного стационарного состояния системы двух уравнений реакция диффузия Неустойчивость Тьюринга Активатор и ингибитор Условия возникновения диссипативных структур

Нелинейная динамика и хаос. Вводный курс. Литература: Г.М.Заславский, Р.З.Сагдеев, «Введение в нелинейную физику», Москва «Наука», 988. Г.Шустер, «Детерминированный хаос. Введение», Москва Мир, 988. М.Табор,

Доклады Башкирского университета. 2019. Том 4. 1 6 Схема исследования устойчивости субгармонических колебаний систем с периодическими коэффициентами в случае сильного резонанса М. Г. Юмагулов 1, С. А.

Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

1 ЛЕКЦИЯ 15 Параметрический резонанс. Действие на колебательную систему периодической внешней силы не единственный путь, чтобы возбудить в ней колебания. Существуют незамкнутые системы, в которых внешнее

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.АЛЕКСЕЕВА» МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Лекция 6 Лекция 6 Параметрические колебания нелинейных систем Параметрический резонанс и параметрическая неустойчивость в линейной системе Специфическим видом внешнего воздействия на колебательную систему

ЛЕКЦИЯ 10 ТЕОРЕМЫ ЭРЕНФЕСТА. ВОЛНОВЫЕ ПАКЕТЫ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА На прошлой лекции было получено выражение для оператора производной по времени: df dt = f = f t + i ħ [ H, f]. (10.1) В нашем курсе

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Лекция 3: Квантовая механика и одномерное движение А.Г. Семенов I. ВЕРОЯТНОСТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ На предыдущей лекции нами было получено уравнение Шредингера для частицы

Лекция 4. Решение систем линейных уравнений методом простых итераций. Если система имеет большую размерность ( 6 уравнений) или матрица системы разрежена, более эффективны для решения непрямые итерационные

3. ВОПРОСЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ БИЛЕТОВ по курсу «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА». Смысловой модуль 1. Описание механических систем методами Ньютона и Лагранжа. Тема 1. Обобщенные координаты и связи. 1. Законы Ньютона.

ЭМИТТАНС, АДМИТТАНС, ОГИБАЮЩАЯ В общем случае под эмиттансом понимают фазовый объем, который занимает пучок в шестимерном фазовом пространстве, по осям которого отложены обобщенные координаты и обобщенные

Лекция 2 Динамические системы (ДС) с параметрами. Бифуркации в ДС. Типы бифуркаций в однопараметрических ДС 1. Основные понятия Динамические системы, рассматриваемые как модели реальных систем, обычно

Лекция 6 5. Слоистые течения в движущихся системах 5. Установившееся течение между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами Рассмотрим геометрию, показанную на рис..5. Зазор между двумя коаксиальными

Особые точки в системах второго и третьего порядков. Критерии устойчивости стационарных состояний линейных и нелинейных систем. План ответа Определение особой точки типа центр. Определение особой точки

Лекция 6 9 Принцип сжимающих отображений Теоремы о неподвижной точке Пусть D оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банахова пространства B в себя Определение Оператор D, действующий из банахова

Неустойчивость Тьюринга. Линейный анализ для системы двух уравнений реакция-диффузия. Сравнение с линейным анализом для системы двух ОДУ. Бифуркационные диаграммы. Рассмотрим распределенную систему в которой

S( (1.1) а ко второму типу функции S( q, p

1 Амелькин Н. И. Элементы КАМ-теории Движение любой механической системы описывается дифференциальными уравнениями. Если для соответствующей системы дифференциальных уравнений удается построить общее решение

Экзаменационный билет 1. 1. Теорема Пикара существования и единственности решения задачи Коши для обыкновенных 1-го порядка и их систем. 2. Пространства Соболева W pm. Теоремы вложения, следы функций из

Приложение для визуализации решений дифференциальных уравнений и систем PhaseVisualizer 1.0 Лысенко С. А. ЮФУ, факультет ММ и КН, кафедра ВМ и МФ. Цели создания приложения Изучение свойств решений обыкновенных

Лекция 4. Гамильтоновы системы 1. Уравнения Гамильтона. 2. Интегрируемые гамильтоновы системы. 3. Теория возмущений интегрируемых гамильтоновых систем. 1. Уравнения Гамильтона. 1.1 Основные свойства Будем

Курсовая работа по курсу «Дифференциальные уравнения». Выполнил студент группы 7o-0С Иванов И.И. Вариант Этап #5 Задание: Вариант = x + 3y., x(0) = 4, y(0) y = 4y + x x = x + y., x(0) = 4, y(0) y = 3y